9.4. Исчисление условной вероятности

Возможность исчислять вероятность имеется для различных событий и фиксирующих эти события формул КЛВ. На опыте мы различаем события, находящиеся в отношении фактического влияния, от нейтральных (не находящихся в отношении фактического влияния); соответственно, в логическом плане необходимо различать формулы, например A и B, имеющие логическое влияние одна на другую (зависимые), от формул, такого влияния не имеющих (независимых).

Независимыми называются такие формулы, например A и B, когда истинность либо ложность первой из них не влияет на истинность либо ложность другой.

В таком случае численное значение P(А) равняется численному значению условной вероятности P(А/В) (т. е. отношению вероятности формулы А, к вероятности формулы В при условии, что В не может иметь нулевую вероятность, т. е. быть нарушением какого-либо закона логики): P(А)=P(А/В) (читается — вероятность А равна условной вероятности P(А/В), или вероятность А не изменяется в связи с вероятностью В).

• Пример

Построим сводную таблицу двух выводных формул КЛВ: (А) — (аb) и (В) — ((а с)а):

a	b	c	а  b	((a  c)	 а)
и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	и
и	л	и	л	и	и
и	л	л	л	л	и
л	и	и	л	и	л
л	и	л	л	и	л
л	л	и	и	и	л
л	л	л	и	и	л

Рис. 30

Используя данные сводной таблицы установим, что Р(A)=¹/₂ (равно как и Р(В)=¹/₂). Исключим из сводной таблицы строки, в которых формула В имеет отрицательный исход (принимает значение «ложь»):

a	b	c	а  b	((a  c)	 а)
и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	и
и	л	и	л	и	и
и	л	л	л	л	и

Рис. 31

Далее подсчитаем число положительных исходов для формулы А в качестве увязанной с формулой В или условную вероятность P(А/В): в данном случае — P((аb)/((ас)а)=¹/₂. Таким образом, на том основании, что Р(A)=P(А/В)=¹/₂, делаем вывод о том, что рассмотренные формулы А и В логически не зависят друг от друга (фиксируют фактически независимые сложные события А и В).

Для ведения правдоподобных рассуждений существенным является такое отношение между событиями и, соответственно, формулами, когда имеется их зависимость, т. е. влияние одной формулы (события) на другую формулу (событие).

Причём, это могут быть два варианты влияния: 1) когда величина условной вероятности P(А/В) оказывается больше величины вероятности P(А) (P(А/В)>P(А)), т. е. имеет место отношение, повышающее вероятность истинности заключения, или позитивная релевантность; 2) когда величина условной вероятности P(А/В) оказывается меньше величины вероятности P(А) (P(А/В)<P(А)): в таком случае вероятность истинности заключения уменьшается, что соответствует негативной релевантности. Очевидно, что правдоподобное следование имеет место тогда и только тогда, когда величина условной вероятности P(А/В) оказывается больше величины вероятности P(А) (или P(А)<P(А/В)): именно в таком случае вероятность истинности заключения (A) повышается при условии истинности посылок (B₁, ..., B_n), т. е. осуществляется собственно правдоподобное рассуждение, соответствующее схеме B_1, ..., B_n ║= А.

• Пример

Проанализируем рассуждение: «Поскольку, когда идёт первая половина будних дней недели и когда идёт вторая половина будних дней недели верующие города N проводят в молитвах, то возможно, что и выходные дни они проводят в молитвах». Данное рассуждение имеет логическую форму ((bа)(са))(dа) со следующим набором истинностных значений антецедента и консеквента:

a	b	c	d	((bа)		(са))	(dа)
и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	и	л	и	и	и	и
и	и	л	и	и	и	и	и
и	и	л	л	и	и	и	и
и	л	и	и	и	и	и	и
и	л	и	л	и	и	и	и
и	л	л	и	и	и	и	и
и	л	л	л	и	и	и	и
л	и	и	и	л	л	л	л
л	и	и	л	л	л	л	и
л	и	л	и	л	л	и	л
л	и	л	л	л	л	и	и
л	л	и	и	и	л	л	л
л	л	и	л	и	л	л	и
л	л	л	и	и	и	и	л
л	л	л	л	и	и	и	и

Рис. 32

Согласно построенной таблице имеем: P(dа)=³/₄ и P((bа)(са))=¹/₂. Для определения P(dа)/((bа)(са))(dа)) осуществим в таблице изменения:

a	b	c	d	((bа)		(са)	(dа)
и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	и	л	и	и	и	и
и	и	л	и	и	и	и	и
и	и	л	л	и	и	и	и
и	л	и	и	и	и	и	и
и	л	и	л	и	и	и	и
и	л	л	и	и	и	и	и
и	л	л	л	и	и	и	и
л	л	л	и	и	и	и	л
л	л	л	л	и	и	и	и

Рис. 33

Таким образом:

1) P(dа)/((bа)(са))(dа))=⁹/₁₀;

2) между формулами ((bа)(са)) и (dа) имеет место такая форма зависимости, при которой P(dа)<P(dа)/((bа)(са))(dа)), что доказывает наличие в рассуждении правдоподобного следования.