- •Предисловие
- •Часть I
- •Предмет, основные понятия
- •И разновидности логики
- •Введение
- •1.2. Разновидности и исторический аспект логики как науки
- •1.3. Основные положения и понятия классической формальной логики
- •2.2. Закон мышления. Принципы (законы) классической формальной логики
- •2.3. Частные законы формальной логики и логическое следование
- •Контрольные вопросы
- •Варианты домашнего задания к разделу «Предмет, основные понятия и разновидности логики»
- •Список рекомендуемой литературы
- •Часть II
- •Силлогистическая теория
- •Дедуктивных рассуждений
- •Введение
- •3.2. Логическая структура категорических высказываний
- •3.3. Общая качественно-количественная классификация категорических суждений
- •3.4. Позитивная и негативная разновидности традиционной силлогистики
- •3.5. Модельные схемы и распределённость (нераспределённость) терминов простых категорических высказываний
- •Родовое
- •4.2. Логический квадрат. Умозаключения по логическому квадрату
- •4.3. Непосредственные дедуктивные преобразования суждений в позитивной силлогистике
- •4.4. Общая характеристика и логическая структура простого категорического силлогизма
- •4.5. Модельные схемы простого категорического силлогизма
- •4.6. Правила простого категорического силлогизма
- •4.7. Сложные, сокращённые и сложносокращённые формы простого категорического силлогизма
- •5.2. Непосредственные дедуктивные умозаключения преобразованием суждений в негативной силлогистике
- •5.3. Негативный категорический силлогизм
- •Контрольные вопросы
- •Варианты домашнего задания к разделу «Силлогистическая теория дедуктивных рассуждений»
- •12. Что есть истина?
- •13. Что пользы человеку приобресть весь мир…?
- •Список рекомендуемой литературы
- •Часть III
- •Логика высказываний
- •И предикатов
- •Введение
- •6.2. Пропозициональные связки; образование формул клв
- •6.3. Истинностная функция пропозициональных связок Табличное определение истинности
- •6.4. Виды и взаимоотношения формул и схем клв
- •6.5. Схемы некоторых законов клв
- •6.6. Основные виды дедуктивных рассуждений, выраженные яклв
- •7.2. Классическое натуральное исчисление высказываний. Правила вывода
- •7.3. Выводы и доказательства
- •7.4. Эвристики натурального исчисления высказываний
- •8.2. Язык классической логики предикатов
- •8.3. Запись имён и высказываний на яклп: термы и формулы
- •8.4. Законы классической логики предикатов
- •8.5. Исчисление предикатов первого порядка
- •Контрольные вопросы
- •Варианты домашнего задания по разделу «Логика высказываний и предикатов»
- •Список рекомендуемой литературы
- •Часть IV
- •Теория правдоподобных
- •Рассуждений
- •Введение
- •9.2. Фактический и логический смысл вероятности. Классическая (априорная) вероятность
- •9.3. Статистическая (апостериорная) вероятность
- •9.4. Исчисление условной вероятности
- •9.5. Принцип обратной дедукции
- •Лекция десятая разновидности индукции
- •10.1. Понятие индукции в традиционной и современной логике
- •10.2. Классификация видов индукции по характеру следования
- •А1 есть в, а2 есть в, ..., Аn есть в; Никаких а, кроме а1, ..., Аn, нет;
- •Каждое а есть в.
- •10.3. Индуктивные методы установления причинных связей
- •Вероятно, а
- •Вероятно, а
- •Видимо, а — причина a
- •11.2. Гипотеза: виды, построение, этапы организации
- •11.3. Требования к теоретическому обоснованию гипотез. Гипотетико-дедуктивный метод
- •Контрольные вопросы
- •Варианты домашнего задания по разделу «Теория правдоподобных рассуждений»
- •Список рекомендуемой литературы
- •Часть V основы аргументационного процесса Введение
- •Лекция двенадцатая логические основы аргументации
- •12.1. Основы теории аргументации
- •12.2. Состав аргументации. Структура аргументационного процесса
- •12.3. Доказательство и опровержение в аргументации
- •12.4. Правила и логические ошибки в доказательстве и опровержении
- •13.2. Тактика спора
- •13.2. Софистика. Уловки в полемике и эклектике
- •Контрольные вопросы
- •Варианты домашнего задания по разделу «Основы аргументационного процесса»
- •Список рекомендуемой литературы
- •Варианты комплексного задания для проведения итоговой аттестации
- •Перечень основных символов классической формальной логики
- •Библиографический список
- •Оглавление
6.2. Пропозициональные связки; образование формул клв
К основным видам пропозициональных связок в классической логике высказываний могут быть отнесены:
1) конъюнкция (для её обозначения используют символы «», «&», «» );
2) дизъюнкция (для обозначения её разновидностей используют символы «», «» );
3) импликация (для обозначения её разновидностей используют символы «», «»);
4) эквиваленция (используемые для обозначения символы: «», «», «~»);
5) отрицание (используемые для обозначения символы: «», «~»).
В зависимости от того, «связывается» ли в новое высказывание одно либо несколько исходных высказываний, принято различать «унарные» и «бинарные» разновидности пропозициональных связок. К «унарной» разновидности в приведённом списке основных видов пропозициональных связок относя отрицание, остальные же связки трактуются как «бинарные».
Пример
Когда мы из какого-либо исходного высказывания, могущего быть либо простым (например, a), либо сложным (например, (pq)r), при помощи унарной логической связки «отрицание» организуем новое сложное высказывание, то получим логические формы: (a) и ((pq)r)), читающиеся: «Неверно, что а» и «Неверно, что если p и q, то r». В содержательном варианте это могут быть выражения: «Неверно, что сегодня пятница» и «Неверно, что если сегодня пятница и тринадцатое число, то все дела пойдут насмарку». Используемая же во втором из этих исходных высказываний логическая связка «конъюнкция» организует два исходных простых высказывания p и q в соответствующее сложное: (pq), а последнее затем увязывается «импликацией» с очередным простым высказыванием r, в результате чего организуется в целом формула (pq)r).
С учётом сказанного дадим определения каждой из основных пропозициональных связок.
1. Конъюнкция (от лат. conjunction — союз, связь) — это бинарная логическая связка, т. е. образующая из нескольких формул новую, более сложную формулу, в которой утверждается наличие одновременного положения дел в каждом отдельном суждении, соответствующем исходным формулам.
Прототипами конъюнктивной связки в естественном языке являются союзы «и», «а», «но», «не только…, но и», «хотя», «да», «однако», «который», «зато» и т. п., которые употребляются для соединения различных частей речи. Формула сложного суждения, состоящего из двух суждений-конъюнктов, имеет вид (pq).
Пример
Конъюнктивными суждениями являются высказывания:
— «На столе лежат книги и письменные принадлежности», состоящее из двух простых суждений, описывающих ситуации, которые могут в зависимости от конкретных обстоятельств либо одновременно несоответстветствовать, либо соответствовать действительности: p — «На столе лежат книги» и q — «На столе лежат письменные принадлежности».
Логическая форма:
(pq).
— «Солнце — звезда, а Луна — планета, но мы живём на Земле», состоящее из трёх простых суждений, в которых описывается ситуации, одновременно соответствующие реальному положению дел в нашей солнечной системе: p — «Солнце является звездой», q — «Луна является планетой» и r — «Мы есть живущие на Земле».
Логическая форма:
(pqr).
2. Дизъюнкция (от лат. disjunction — разобщение, различение) — это бинарная логическая связка, т. е. образующая из нескольких формул новую, в которой утверждается наличие по крайней мере одного из двух положений дел, утверждаемых отдельными суждениями, соответствующими исходным формулам. Прототипами дизъюнктивной связки в естественном языке являются союзы «или», «либо», «то ли…, то ли» и т. п.
Поскольку члены дизъюнкции могут быть как не исключающими друг друга (не исключается возможность одновременного наличия выражаемого ими положения дел), так и исключающими друг друга (исключается возможность одновременного наличия выражаемого ими положения дел), то следует различать нестрогую (слабую) и строгую (сильную, альтернативную) дизъюнкции.
Пример
Высказывание «Осадки могут выпадать в виде дождя или мокрого снега» является нестрогим дизъюнктивным суждением, состоящим из двух суждений-дизъюнктов, истинность одного из которых не исключает истинность другого (p — «Осадки могут выпадать в виде дождя», q — «Осадки могут выпадать в виде мокрого снега»); (pq) — формула данного высказывания.
Высказывание «Всякое существо смертно или нетленно» является строгим дизъюнктивным суждением, состоящим из двух суждений-дизъюнктов, истинность одного из которых исключает истинность другого (p — «Всякое существо смертно», q — «Всякое существо нетленно»); (pq) — формула данного высказывания (черта под знаком дизъюнкции символизирует альтернативность).
3. Материальная (строгая) импликация (от лат. implicatio — сплетение, от implico — тесно связываю) — это бинарная логическая связка, образующая из двух формул А и В новую формулу (АВ), в которой утверждается, что при наличии положения дел в выражении А имеет место также и положение дел, описываемое в выражении В. Прототипами строгой импликативной связки в естественном языке являются союзы «если…, то», «если», «только если», «коль скоро…, то», «для… необходимо», «для… достаточно», «когда…, имеет место» и т. п.
Имеющееся в формуле строгой импликации выражение А называется антецедентом (от лат. antecedens — предшествующий, предыдущий). Имеющееся в формуле материальной импликации выражение В называется консеквентом (от лат. consequens — следствие).
В строгой импликации антецедент — это именно просто предшествующее суждение, не предполагающее обязательности смысла «являющееся обусловливающим». Если этот смысл присутствует и логически оформлен, мы имеем дело с релевантной (уместной) импликацией, где суждение А мыслится именно как обусловливающее, а суждение В именно как обусловленное; формула релевантной импликации может быть записана следующим образом: pq. Формула (pq) означает: «Невозможно, чтобы А было истинно, а В было ложно». Классическая логика высказываний не использует релевантное имплицирование, что обусловливает наличие в этой теории парадоксов материальной импликации.
Одним из примеров проявления таких парадоксов является закон Дунса Скота, который можно передать так: ложное высказывание влечёт (имплицирует) любое высказывание.
Пример
Например, «Если человек разумен и вместе с тем неразумен, то все пончики выпекаются только из глины». В рамках классической логики высказываний такое импликативное суждение, записываемое формулой (pp)q, квалифицируется как формально истинное.
4. Материальная (строгая) эквиваленция (от позднелат. aequivalens — равноценный, равнозначный) — это бинарная логическая связка, образующая из двух формул А и В новую формулу (АВ), в которой утверждается, что положения дел, описанные в выражениях А и В, либо одновременно имеют место, либо одновременно отсутствуют. Прототипами эквиваленции как связки в естественном языке являются союзы «если и только если», «если…, то…, и наоборот», «тогда и только тогда, когда», «для… необходимо и достаточно», «если…, и…, если», «в том и только в том случае, когда» и т. п.
Строгими эквивалентными являются сложные высказывания «p, если и только если q», образованные из высказываний p и q и разлагающиеся на две импликации: «если p, то q» и «если q, то p» (отсюда встречающееся название — «двойная импликация»).
Пример
Треугольник является равносторонним, если и только если он является треугольником.
5. Отрицание — это унарная логическая связка, образующая из формулы А новую формулу А, в которой утверждается отсутствие положения дел, описываемого в выражении А. Прототипом отрицания как связки в естественном языке является выражение «неверно, что» и его аналоги.
Пример
Неверно, что некоторые планеты солнечной системы не вращаются вокруг Солнца (p). Неверно, что наш мир существует и не существует ((pp)) и т. п.
При этом будем иметь в виду, что формула классической логики высказываний — это любое правильно построенное выражение языка этой логической теории, т. е. выражение правильно фиксирующее логическую форму сложного высказывания. Формулой классической логики высказываний является всякая пропозициональная переменная p («элементарная формула»), а также логические единства пропозициональных переменных и пропозициональных связок (сложная формула): pq, pq, pq, p q, p, (pq) и т. п. Формула, входящая в состав некоторой формулы, называется её подформулой, равно как и сама исходная формула.