Методические рекомендации для организации самостоятельной работы студентов по теме «Тождественные преобразования выражений»

I. Теоретическая основа выполнения тождественных преобразований иррациональных выражений

1. Определение квадратного корня из числа.

2. Определение арифметического квадратного корня из числа.

3. Определение модуля числа.

4. Свойства арифметического квадратного корня.

а)

б) , где

в) ,

г)

II. Виды тождественных преобразований иррациональных выражений

1.Вынесение множителя из-под знака квадратного корня.

2.Внесение множителя под знак квадратного корня.

3. Освобождение от иррациональности в знаменателе (числителе).

4.Освобождение подкоренного выражения от дробности.

5. Приведение подобных радикалов.

Алгоритмы

1. Вынесение множителя из-под знака квадратного корня

1. Представить подкоренное выражение в виде произведения, в котором один или несколько множителей тождественно равны квадрату одночлена.

2. Заменить корень из произведения произведением корней.

3. Воспользоваться тождеством .

4. Освободиться, если требуется, от знаков модуля и выполнить

тождественные преобразования рациональных выражений.

Пример.

.

2. Внесение множителя под знак квадратного корня

1. Выделить положительный множитель перед корнем.

2. Представить его в виде арифметического квадратного корня,

используя тождество .

3.Заменить произведение корней корнем из произведения, используя свойство .

4. Выполнить тождественные преобразования рациональных выражений.

Пример.

.

Методические задачи

I. Учащимся предложено задание: «Найдите значение выражения при ».

Два ученика дали следующие решения:

1-й ученик: .

2-й ученик: .

Ответьте на вопросы:

1. Кто решил правильно?

2. В чем ошибка другого? Как организовать работу по ее исправлению?

3. Какие ошибки еще могли допустить ученики?

II. Оцените решение следующих упражнений. Если решение неверное, объясните ученикам их ошибки. Дайте правильное решение.

а) ,

б) , ,

в) ,

г) решить уравнение: .

Решение. ; ; ; ; . Ответ: ;

д) вычислить: .

Четыре ученика дали различные решения этой задачи.

1) ,

2) ,

3) , 4) .

Кто решил правильно? В чем причина ошибок остальных?

е) найти значение выражения при .

Ученики дали решения:

1) = = 2 – 5 = – 3,

2) = = = =3.

Кто решил правильно? В чем причина ошибки другого? Как он должен был записать решение?

Индивидуальные задания

1. Составьте тематический план изучения темы «Тождественные преобразования иррациональных выражений».

2. Разработайте методику введения понятий:

– квадратный корень из числа ;

– арифметический квадратный корень из числа .

3. Подготовьте сообщение «О знаке корня» (воспользуйтесь источником [1] основного списка).

4. Разработайте методику работы над тождеством .

5. Разработайте методику работы над тождеством .

6. Разработайте методику изучения теоремы , .

7. Разработайте методику изучения теоремы >0.

Рекомендации к выполнению заданий 6 и 7:

а) продумайте проблемные задания, убеждающие в необходимости изучения теорем;

б) при разработке методики осветите все этапы работы над теоремами.

8. Разработайте методику изучения вынесения множителя из-под знака квадратного корня.

9. Разработайте методику изучения внесения множителя под знак квадратного корня.

10. Разработайте методику изучения освобождения от иррациональности в знаменателе (числителе).

11. Разработайте методику изучения освобождения подкоренного выражения от дробности.

12. Разработайте методику изучения приведения подобных радикалов.

13. Выполните контрольную работу.

Вариант I	Вариант II
1. Упростите выражения:	1. Упростите выражения:
а) ;	а) ;
б) ;	б) ;
в) .	в) .
2. Сравните числа и	2. Сравните числа и .
3.Упростите выражения:	3. Упростите выражения:
а) ;	а) ;
б) , где >0, > 0, ≠	б) .
4. Вынесите множитель из-под знака корня: , если . <0	4. Внесите множитель под знак корня: , если <0.
5. Постройте график функции .	5. Постройте график функции .

14. Подберите содержательные задачи, средством для решения которых являются тождественные преобразования иррациональных выражений (упрощение выражений, рационализация вычислений, сокращение дробей, решение уравнений и неравенств, нахождение значения выражений и др.).

15. Составьте лист взаимоконтроля по теме «Квадратные корни» в 8-м классе.

16. Разработайте методику введения понятий: корень n –й степени из

числа , арифметический корень n – й степени из числа .

17. Разработайте методику изучения теоремы: а) , .

18. Разработайте методику изучения теоремы: , >0.

19. Разработайте методику введения понятий: корень n –й степени из числа , арифметический корень n – й степени из числа (воспользуйтесь [5] и [6]).

20. Разработайте методику изучения теоремы

, (воспользуйтесь [5] и [6]).

21. Разработайте методику изучения теоремы

, >0 (воспользуйтесь [5] и [6]).

22. Разработайте методику изучения теоремы

, где k– натуральное число и n – натуральное число, большее 1 (воспользуйтесь [5] и [6]).

23. Разработайте методику изучения теоремы: , где k и n – натуральные числа, большие 1 (воспользуйтесь [5] и [6]).

24. Разработайте методику изучения теоремы: (см. [5] и [6]).

25. Рассмотрите примеры преобразования выражений, содержащих радикалы (воспользуйтесь [5] и [6]).