Лекция 1. Тождественные преобразования выражений

План

Введение

1. Основной понятийный материал.

2. Теоретические основы тождественных преобразований выражений.

3. Место, содержание и значение темы в школьном курсе математики.

4. Изучение тождественных преобразований выражений в пропедевтическом курсе математики.

5. Некоторые методические особенности изучения тождественных преобразований в систематическом курсе алгебры.

Введение

В любой области знаний, использующей математику, появляется необходимость заменять одно выражение другим, более простым или более удобным для решения рассматриваемой задачи. Иначе говоря, приходится выполнять тождественные преобразования. Рассмотрим приведенные ниже упражнения.

1. Упростите выражение: .

2. Решите уравнения: ;

;

;

.

3. Докажите неравенство: . 4. Найдите значение выражения при .

5. Докажите, что выражение , где , кратно 8.

6. Исследуйте функцию f(х) = ⁴ – ^{3 .}+ 6 ^{2 .}+ 9.

Различные по содержанию упражнения выполняются при изучении различных тем в разных классах – все они требуют предварительного выполнения тождественных преобразований содержащихся в них выражений.

1. Основной понятийный материал

Рис. 1. Виды выражений

Предметом нашего изучения являются выражения с переменной без знака отношения. Рассмотрим примеры элементарных выражений.

Константа ( )	или , где
Переменная ( )

Какие из них являются целыми, дробными, рациональными, иррациональными, алгебраическими, неалгебраическими? Примеры неэлементарных выражений: ; ; ; и др.

Можно рассмотреть следующую классификацию выражений:

Рис. 2

Нам предстоит обучать выполнению тождественных преобразований выражений.

Задание

Сформулируйте определения или описания следующих понятий: выражение; преобразование выражений; тождественное преобразование выражений; тождественно равные выражения; тождество; одночлен; многочлен.

2. Теоретические основы тождественных преобразований выражений

2.1. Существуют две точки зрения на тождественные преобразования рациональных выражений. Это алгебраическая, заключающаяся в том, что изучаются действия над выражениями. Для школы (в частности для седьмого и восьмого классов, где изучаются тождественные преобразования целых и дробно-рациональных выражений) это не представляется возможным, так как для четкого обоснования действий над рациональными выражениями необходимо знание таких понятий, как кольцо многочленов и поле рациональных дробей. Вторая точка зрения – теоретико-функциональная, рассматривающая многочлен как целую рациональную функцию (одного или нескольких переменных), а алгебраическую дробь как дробно-рациональную функцию. Подробнее об этом – в статье И.В. Баума и Ю.Н. Макарычева [1].

Для школьной алгебры представляет интерес и тот и другой подход. Нельзя недооценивать или отказываться ни от одного из них: в одних случаях приходится сосредоточивать внимание учащихся на алгебраической стороне вопроса, в других – интерес представляет функциональная сторона. Поэтому полезно объединение этих двух позиций. Например, при изучении тождественных преобразований целых выражений полезно:

• рассматривать на множестве одночленов лишь одну операцию – умножение;

• не рассматривать специально деление многочленов, отнеся его в раздел «рациональные дроби»;

• считать тождественно равными два целых рациональных выражения, значения которых совпадают при одинаковых значениях входящих в них переменных;

• тождественные преобразования строить на основе законов арифметических действий (аксиом полугруппы и кольца), считать их аксиомами тождественных преобразований.

Следует отметить, что действия над алгебраическими выражениями в том смысле, который принят в арифметике, выполнить нельзя. Выполнить обозначенные действия возможно только при каждом конкретном наборе числовых значений входящих в эти выражения букв.

Действия можно лишь обозначить: сложение обозначается знаком «+», вычитание – знаком «– », умножение – «∙», деление – чертой дроби, например, , а не : . (Объясните, почему?)

2.2. К определению алгебраических выражений целесообразно подходить с позиции математического анализа (см. рис.1), считая многочлен целой, а алгебраическую дробь – дробно-рациональной функцией. Это значит, что алгебраические выражения определяются в зависимости от операций, обозначенных над переменными и постоянными.

Определение 1. Рациональным называется такое алгебраическое выражение, которое составлено из постоянных, переменных, знаков арифметических действий и скобок.

Определение 2. Рациональное алгебраическое выражение называется целым, если в нем не обозначено деление на переменную.

Определение 3. Рациональное алгебраическое выражение называется дробным, если в нем обозначено деление на выражение, содержащее переменную.

2.3. Изучение тождественных преобразований требует хорошего владения понятием равенства. Равенством называют предложение, состоящее из двух выражений, соединенных знаком «= ».

Для изучения тождественных преобразований интерес представляют верные равенства, обладающие следующими свойствами (аксиомы равенства):

1. А = А – аксиома рефлексивности.

2. Если А = В, то В = А – аксиома симметричности.

3. Если А = В и В = С, то А = С – аксиома транзитивности. Это свойство имеет существенное значение в тождественных преобразованиях.

2.4. Законы арифметических действий следует считать аксиомами тождественных преобразований.

Выводы

Основными положениями, на которых строится теория тождественных преобразований, являются следующие.

1. Действия над целыми алгебраическими выражениями только обозначаются.

2. Пусть a, b, c – любой одночлен или многочлен, тогда:

• сложение целых рациональных выражений коммутативно, т.е. ,

• сложение ассоциативно, т. е. ,

• умножение коммутативно, т.е. ,

• умножение ассоциативно, т.е. ,

• умножение дистрибутивно относительно сложения,

т.е. и .

Кроме этих аксиом выполняются аксиомы о действиях с нулем и единицей, а также свойства равенств:

• ,

• ,

• ,

• ,

• если , то ,

• если и , то .

Все остальные преобразования должны быть обоснованы ссылкой на эти аксиомы, введенные определения или уже доказанные теоремы.

Пример. Доказать справедливость равенства .

Доказательство. Рассмотрим разность а и b. По определению действия вычитания:

=

(используем свойство – ассоциативность сложения)

= =

(определение суммы противоположных выражений)

= =

( аксиома нуля)

= .