5. Методика обучения решению уравнений и неравенств

5.1. Обучение решению уравнений на разных этапах обучения

5.1.1. Пропедевтический этап

Обучение учащихся решению простых уравнений по правилам нахождения неизвестного компонента арифметического действия в начальной школе и в пятом классе проводится на множестве натуральных чисел (см. п. 3.1.).

В дальнейшем обучении уравнения используются как средство мотивации при расширении множества натуральных чисел до множества , а затем до множества рациональных чисел В свою очередь решение уравнений на множестве рациональных чисел способствует формированию у учащихся вычислительных навыков (овладению действиями с обыкновенными, десятичными дробями, с отрицательными числами).

Наряду с простыми уравнениями (п. 3.1) в пятом классе решаются сложные уравнения, содержащие переменную в одной части уравнения. Например, № 1010 (и): 15∙(k – 0,2) = 21 [28, с. 294]; № 231(а): [18]. Несмотря на усложнение структуры уравнений, в решении по-прежнему используются правила нахождения неизвестного компонента действия (в данных примерах — неизвестного множителя и уменьшаемого; неизвестного вычитаемого и слагаемого). В приведенных примерах возможно использование упрощения выражений, стоящих в левой части уравнений, на основе распределительного закона и правила раскрытия скобок.

Таким образом, теория решения уравнений остается неизменной.

В 6-м классе изучается решение уравнений, содержащих переменную в обеих частях уравнения [29]. Необходимость нового способа решения уравнений мотивируется примером задачи, приводящей к такому уравнению (рис. 4). Модель чашечных весов способствует «открытию» способа решения уравнений вида: 5х = 2х + 6.

Рис. 4

С введением уравнений данного вида теория решения уравнений расширяется. Изученные правила переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением при этом знака слагаемого на противоположный и деления (умножения) обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, в систематическом курсе алгебры получат название свойств равносильных преобразований уравнений [1].

Задание № 6 для самостоятельной работы.

1. Проведите логико-математический анализ примеров решения уравнений в учебниках для пятого класса [28]⁷. Сделайте выводы.

2. Проведите логико-математический анализ примеров решения уравнений в учебниках для шестого класса [29]. Сделайте выводы.

3. Почему проверка уравнения является обязательным этапом решения в математике 5–х и 6–х классов?

5.1.2. О роли проверки в решении уравнений

Выше было отмечено (п. 4.2.2), что введение понятия уравнения, осуществленное в действующих учебниках [1], [2], [28] и других, способствует развитию эмпирического типа мышления учащихся. Возможно, это является причиной формализма в усвоении учащимися знаний об уравнениях и неравенствах.

Как известно, понятия являются главными составляющими любой науки, каждого учебного предмета. Обеспечение полноценного усвоения математических понятий — программное требование и одна из главных задач учителя. Обращение к школьной практике показывает, что «… эта задача решается не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы» [40 с. 187]. Главным недостатком школьного усвоения понятий издавна считается формализм, суть которого состоит в том, что учащиеся, правильно воспроизводя определения понятий (формулировку поясняющих описаний), не умеют пользоваться ими в процессе решения задач и доказательстве утверждений.

Это, как показывают наблюдения, относится к изучению понятия уравнения. Например, учащиеся 5–7-х классов чаще всего записывают ответ, не выполнив проверки найденного значения неизвестного числа, принимая его за корень уравнения. То есть определение корня уравнения как значения буквы (переменной), при котором из уравнения получается верное числовое равенство [1], [28], усвоено формально.

Пример из работы учащегося.

Решить уравнение: (389 – х) : 5 = 41.

(389 – х) : 5 = 41;

389 – х = 41 ∙ 5;

389 – х = 205;

х = 194.

(389 – 194) : 5 = 41;

41 = 41. Ответ: 194.

Такие «решения» уравнений очень часто приводят учащиеся начальной школы и пятого класса. В то время как привычка выполнять действие контроля (самоконтроль) — важнейшее составляющее «учебной деятельности» [16, с.19], характеризующее развитие критичности мышления школьника.

Требование проверки решения уравнения должно сохраняться до введения понятия равносильных уравнений. Только в этом случае равносильные преобразования будут восприниматься учащимися как новый способ решения уравнения, позволяющий обходиться без проверки найденного значения переменной. Понятие равносильных уравнений определяется в курсе алгебры 7 класса [1]. И с этого момента учащиеся должны понимать идею равносильных преобразований уравнений и уметь обосновывать переход от данного уравнения к следующему, ему равносильному. Тогда решение уравнений будет осознанным, а не формальным, причем устная проверка корня уравнения (самопроверка) должна стать привычкой, тем более что она должна быть сформирована.

5.1.3. Систематическое изучение алгебраических уравнений

В курсе алгебры основной школы учащиеся изучают уравнения первой степени (линейные и приводимые к линейным) и уравнения степени выше первой (квадратные, третьей и др.), дробные рациональные уравнения.