5. Некоторые методические особенности изучения тождественных преобразований в систематическом курсе алгебры

При изучении тождественных преобразований любого вида выражений следует рассмотреть следующие вопросы:

1) определение (или описание, если не дается определение),

2. теоретическая база, на которой основываются преобразования,

3. виды преобразований.

Сделаем следующие замечания к изучению конкретных видов тождественных преобразований.

5.1. Как любое математическое понятие тождественные преобразования выражений являются как предметом, так и средством изучения.

5.2. Заметим, что название выражения определяется его видом, поэтому следует правильно читать выражения. Например,

– разность двух одночленов или двучлен,

– произведение одночлена на двучлен,

– степень одночлена,

– квадрат двучлена,

– многочлен, тождественно равный квадрату двучлена, – неполный квадрат разности и др.

В связи с этим сделаем еще одно замечание об употреблении терминов. Нередко можно слышать вопрос: «Между какими из следующих пар выражений: и , и можно поставить знак равенства?» (имеется в виду вопрос, какие из пар выражений будут тождественно равными). Знак равенства можно поставить между выражениями любых пар, только возникает вопрос: будут ли при этом выражения тождественно равными?

Учитывая замечание, вопрос следует задать, например, так: «Имеем выражения: и , и . В каких из указанных пар выражения будут тождественно равными?».

5.3. Как уже было сказано, в школьном курсе алгебры все «действия» над алгебраическими выражениями только обозначаются, а затем полученные выражения (например, сумма , произведение ) преобразуются в тождественно равные выражения.

5.4. В связи с этим подчеркнем, что основная задача тождественных преобразований – не действия над выражениями, а приведение выражений к стандартному виду. Сделаем замечание по терминологии: «к стандартному», «к простейшему», «к нормальному», «к каноническому» — могут использоваться как синонимы.

5.5. При выполнении тождественных преобразований следует обращать внимание учащихся на то, что в каждом конкретном случае целью преобразований является представление выражения в виде, удобном для решения поставленной задачи.

Пример 1. Для нахождения значения выражения при и целесообразно представить его в виде 28,5∙ . В этом случае вместо трех громоздких вычислений выполняется два и устно. Но если , а , то выполнение указанного преобразования – нецелесообразно.

Пример 2. Найти значение выражения при и . Непосредственная подстановка приведет к громоздким вычислениям, а преобразование дроби – к выводу о независимости значения выражения от значений и : .

Пример 3. Чтобы выяснить, является последовательность b_n = возрастающей или убывающей, полезно представить общий член в виде и сразу сделать вывод.

Пример 4. Часто для достижения цели бывает полезно не упростить, а усложнить выражение, выполнив тождественные преобразования. Примером могут служить преобразования, выполняемые при выводе формулы корней квадратного уравнения . Квадратный трехчлен преобразуется в произведение: = и далее выделяется квадрат двучлена: = .

5.6. Одной из особенностей изучения тождественных преобразований является совместное изучений взаимно обратных преобразований. Например, умножение одночлена на многочлен и вынесение общего множителя за скобки, умножение многочлена на многочлен и разложение на множители способом группировки можно изучать на одном уроке или на двух последовательных уроках. Это дает выигрыш во времени и способствует качественному усвоению материала.

5.7. Говоря об особенностях системы упражнений, необходимо отметить, что тождественные преобразования выступают не как самоцель, а как средство для раскрытия свойств выражений и решения различного рода содержательных задач, в частности:

• для упрощения выражений;

• нахождения значения выражений;

• установления тождественного равенства двух выражений;

• решения уравнений, неравенств;

• исследования функций;

• для решения задач на делимость и т.д. (см. упр. на с.4).

В системе упражнений целесообразно усилить внимание к выполнению различных видов обратных задач, например, заменить знаки вопросов в следующих выражениях:

(? + ?)² = ;

;

и др.

Громоздкие упражнения не являются целесообразными, так как отнимают много времени, а коэффициент полезного действия мал.

5.8. В качестве особенности тождественных преобразований отметим их алгоритмичность. Она заложена как в самом содержании, так и в правилах выполнения тождественных преобразований, и в формировании навыков тождественных преобразований.

Например, правило умножения дробей: чтобы умножить дробь на дробь, нужно: 1) перемножить их числители, 2) перемножить их знаменатели, 3) первое произведение записывать в числителе, а второе – в знаменателе.

Пример разложения многочлена на множители (план):

– вынести за скобки общий для всех членов множитель, если таковой имеется;

– если в скобках двучлен, проверить, не является ли полученное в скобках выражение разностью квадратов. Если да, то применить соответствующее тождество сокращенного умножения;

– если в скобках получился трехчлен, проверить, не является ли он квадратом двучлена. Если да, то применить соответствующее тождество сокращенного умножения;

– если в скобках невозможно применить тождества сокращенного умножения, надо попытаться произвести разложение на множители способом группировки.

Большое внимание уделяется формированию навыков тождественных преобразований. Основные этапы формирования навыков тождественных преобразований подробно изложены в статье Н. Г. Миндюк [14]. Рекомендуем ее изучить.