Задача 4. Устойчивость сжатых стержней
Стальной стержень длиной ℓ, сжимается силой F. Требуется:
1) найти размеры поперечного сечения при расчетном сопротивлении R=210МПа (расчет производить последовательными приближениями, предварительно задавшись коэффициентом φ=0,5);
2) найти значение критической силы и коэффициента запаса устойчивости.
Данные взять из таблицы 4.
Таблица 4
Первая цифра шифра |
F, кН |
Вторая цифра шифра |
ℓ, м |
Схема закрепления стержня |
Третья цифра шифра |
Форма сечения |
1 |
200 |
1 |
1,2 |
а |
1 |
I |
2 |
220 |
2 |
2,1 |
б |
2 |
II |
3 |
300 |
3 |
2,8 |
в |
3 |
III |
4 |
250 |
4 |
4,0 |
г |
4 |
IV |
5 |
180 |
5 |
1,1 |
а |
5 |
V |
6 |
160 |
6 |
2,0 |
б |
6 |
VI |
7 |
240 |
7 |
3,0 |
в |
7 |
VII |
8 |
230 |
8 |
4,2 |
г |
8 |
VIII |
9 |
190 |
9 |
1,0 |
а |
9 |
IX |
0 |
210 |
0 |
2,2 |
б |
0 |
X |
Схемы закрепления стержней
Рис.4
Форма сечения стержня
I II III IV
V VI VII VIII
IX X
Рис.5
ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ
Задача 1
Для заданного поперечного сечения, состоящего из швеллера и равнобокого уголка (рис.6), требуется определить геометрические характеристики:
Ход решения задачи:
1) Вычертить сечение в масштабе (рис.6).
2) Разбить на простейшие фигуры:
1.
Швеллер №30: h=30см,
b=10см,
=2,52см,
=40,5см2,
5810см4,
=327см4,
2.
Уголок 100
100
12:
=2,91см,
=22,8см2,
=208,9см4.
3)
В каждой фигуре найти собственный центр
тяжести С1
и С2,
провести собственные оси
и
.
4)
Выбрать вспомогательные оси
.
5) Относительно вспомогательных осей определить центр тяжести всей фигуры:
см
см
Провести центральные оси.
6) Определить моменты инерции простых фигур по сортаменту.
Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной, вторая ось, перпендикулярная ей, тоже главная. Центробежный момент относительно главных осей равен 0.
Для
швеллера
Для
уголка
,
знак зависит от расположения уголка.
7) Найти момент инерции всей фигуры относительно центральных осей, используя формулы перехода между параллельными осями
Здесь: аi – расстояния между центральной осью Х и собственными осями Xi каждой фигуры, bi – расстояние между центральной осью Y и собственными осями Yi.
значит,
оси Х;Y
не являются главными
8) Определить положение главных осeй через угол α0:
Знак «-» означает, что надо повернуть оси Х, У по часовой стрелке.
Y0
Y1 1
V 1
0.65
Y
Y2 1
U 1
b2=3.47
b1=1.96
Xc2=2.91
Xc1=2.52
C1
X1 1
C
X 1
C2
X2 1
X0 1
C0
10 1
10 1
Рис.6
9)Определить главные моменты инерции
,
10)
Проверка: Сумма моментов инерции
относительно любых двух взаимно
перпендикулярных осей есть величина
постоянная:
8151,15+ 966,02= 8309,88+ 807,295
9117,17= 9117,17
Задача 2. Для заданных двух схем балок (рис.7 и 8) требуется написать выражения Q и M для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и M, найти Mmax и сделать проектировочный расчет.
Схема а)
1.Определение реакций:
Сумма
проекций всех сил на ось z:
Сумма
проекций всех сил на ось y:
Сумма
моментов относительно точки А:
2. Записываем уравнения Q и M для каждого из участков в общем виде, при этом учитываем знаки.
Q- поперечная сила, считается положительной, если вращает выделенный элемент по часовой стрелке.
M- изгибающий момент, считается положительным, если растягивает нижние волокна.
1)Первый
участок:
,
2)Второй
участок:
,
;
,
;
3)Третий
участок:
,
;
,
.
3.Проектировочный расчет, то есть подбор размеров поперечного сечения.
Подобрать деревянную балку круглого поперечного сечения при Ru=10 МПа:
M=10кHм
q=10кH/м
MA=55кНм
НA
Z1
30
20
Эп Q(кН)
Эп M(кНм)
Z1
Z2
Z3
a=1м
b=2м
c=3м
55
30
20
Рис.7.
С
эпюры берем максимальный момент
-диаметр
деревянной балки
Схема б)
1.Определение реакций:
Сумма моментов относительно опор:
Опора
А:
Опора
В:
Сумма
проекций всех сил на ось У (проверка):
0=0
2.Записываем уравнения Q и M для каждого из участков в общем виде, при этом учитываем знаки.
1)Первый
участок:
2)Второй
участок:
;
3)Третий
участок:
;
при
м
;
3.Проектировочный расчет, то есть подбор размеров поперечного сечения.
Подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при R=160 МПа:
С
эпюры берем максимальный момент
По
сортаменту подбираем двутавр № 20 с
Двутавр можно взять чуть меньше, при условии, что перенапряжение составляет меньше 5%:
,
норма 160МПа
q=10кН/м
А
B
F=10кН
Z1
Z2
a=3м
b=5м
с=3м
30
9,375
21,27
10
10
Z3
Ra=19,375кН
Rb=20,625кН
Эп Q (кН)
20,625
2,06
Эп M (кНм)
16,875
Рис.8.
Задача 3. Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рисунке 9, сжимается силой F, приложенной в точке А. Требуется найти допускаемую нагрузку F.
1.Определение геометрических характеристик поперечного сечения.
а) Центр тяжести:
разбиваем на простые фигуры
1.
Полукруг:
,
,
2.
Прямоугольник:
,
,
Координаты центра тяжести
б) Моменты инерции всей фигуры относительно центральных осей:
оси
Х; У - главные оси.
в) Радиусы инерции:
;
.
2. Определение положения нулевой линии.
Точка приложения силы находится на оси X, следовательно, нулевая линия перпендикулярна оси X и находится по другую сторону от центра тяжести.
,
- координаты точки приложения силы
-
точка пересечения нулевой линии с осью
х.
3. Построение эпюры напряжений, вычисление наибольшего растягивающего и наибольшего сжимающего напряжения в поперечном сечении:
Напряжения, которые требуется найти, выразим через силу F:
-
координаты точки приложения силы
относительно главных осей;
-
координаты точки, где нужно определить
напряжение.
Если сила сжимающая, то в формуле знак «-», если растягивающая- «+». По условию задачи дана сжимающая сила.
Точки А и В – опасные точки (точки наиболее удаленные от нулевой линии).
т. А (-5,5;0)
,
т.
В (4,5;0)
,
Y0
Y2
Y1
Y
C
B
A
0.5
X,X0,X1,X2
b1=-2.6
b2=2
F
C0
C1
C2
xc1=-2.1
xc2=2.5
5
5
-5.23F
89.25*10-4
2.46F
89.25*10-4
Рис.9
4.Находим допускаемую нагрузку F:
За допускаемую нагрузку принимаем наименьшую из найденных сил, т.е. ответом к данной задаче будет сила равная 90,7 кН.