Тема 4 Финансовые потоки и их анализ

Одной из базовых концепций теории финансов является концепция денежных потоков.

Денежные потоки – это кровеносная система деятельности любого предприятия любой формы собственности.

В результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов образуется денежный поток с элементами которые генерируются через временные интервалы

При рассмотрении денежных потоков мы будем исходить из следующих допущений:

1) элементы денежного потока могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом;

2) элементы денежного потока будем считать однонаправленными;

3) элементы денежного потока могут иметь место либо в начале, либо конце временного периода т.е. не рассредоточены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ;

Если элементы денежного потока сконцентрированы в его начале, то такой поток называется потоком пренумерандо. Если элементы денежного потока имеют место в конце временного периода, то такой денежный поток называется потоком постнумерандо.

4) временные периоды между отдельными элементами денежного потока чаще всего принимаются равными.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Некоторые объяснения этому можно дать исходя из общих принципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончании очередного отчетного года.

Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они, естественно, распределены во времени неравномерно и поэтому удобнее условно отнести их к концу временного периода.

Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач:

1) т. н. прямая задача – предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в ее основе лежит будущая стоимость;

2) т.н. обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока.

При рассмотрении денежных потоков ключевым моментом является предпосылка по умолчанию о том, что анализ денежных потоков проводится с позиции т.н. «разумного инвестора».

Именно этим и объясняется тот факт, что при оценке будущих потоков как при реализации процессов наращения, так и при реализации процессов дисконтирования предполагается только капитализация ранее начисленных, но не востребованных процентов.

Аннуитет.

Одним из ключевых понятий в финансовых расчетах является понятие аннуитета.

Аннуитет – это частный случай денежного потока, а именно – это такой денежный поток, у которого длительность всех периодов равны между собой. Аннуитет в финансовой литературе часто называют финансовой рентой или просто рентой.

Любое денежное поступление называется членом ренты, а величина постоянного временного интервала между двумя последовательными денежными поступлениями называется периодом аннуитета (ренты).

Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным.

Если в течение каждого базового периода начисления процентов на денежные поступления происходит р раз, то аннуитет называют р-срочным.

Как и в общем случае оценки денежных потоков применительно к аннуитетам выделяют два типа аннуитетов: пренумерандо и постнумерандо.

Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода.

В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки.

Переменный аннуитет постнумерандо.

Ситуация, когда денежные поступления по периодам варьируют, является наиболее распространенной. В этом случае аннуитет называется переменным.

В этом случае общая постановка задачи такова.

Пусть - аннуитет, период которого совпадает с базовым периодом начисления процентов по ставке . Требуется оценить стоимость данного аннуитета с позиции будущего и с позиции настоящего (т.е. решить прямую и обратную задачу оценки денежного потока).

Прямая задача предполагает оценку денежного потока с позиции будущего, т.е. когда реализуется схема наращения. Для переменного аннуитета постнумерандо эта схема имеет следующий вид (см. рис.).

Следовательно, наращенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид:

Формула для определения будущей стоимости переменного аннуитета постнумерандо:

.

Если для определения будущей стоимости переменного аннуитета постнумерандо использовать финансовые таблицы, то формула принимает следующий вид:

.

Обратная задача подразумевает оценку денежного потока с позиции текущего момента, т.е. на момент начала первого периода. В этом случае реализуется задача дисконтирования и суммирование проводится по дисконтированному денежному потоку. В этом случае приведенный денежный поток исходного потока постнумерандо имеет вид:

.

Приведенная стоимость переменного аннуитета постнумерандо определяется по формуле:

Если пользоваться финансовыми таблицами, то вышеприведенная формула примет вид:

.

Пример.

Рассчитать приведенную стоимость переменного аннуитета постнумерандо (тыс. грн.): 12, 15, 9, 25, если заданная процентная ставка составляет 12% и период равен одному году.

Год	Денежный поток, тыс. грн.	Дисконтный множитель при r= 12%	Приведенный поток, тыс. грн.
1	12	0,8929	10,71
2	15	0,7972	11,96
3	9	0,7118	6,41
4	25	0,6355	15,89

61 44,97

Переменный аннуитет пренумерандо.

Логика оценки переменного аннуитета пренумерандо аналогична ранее рассмотренной задачи. Некоторое расхождение в расчетных формулах объясняется тем, что элементы денежного потока сдвигаются к началу соответствующего временного интервала.

Для прямой задачи наращенный денежный поток имеет вид:

.

Будущая стоимость исходного переменного аннуитета пренумерандо может быть рассчитана по следующей формуле:

.

Между денежными потоками пренумерандо и постнумерандо имеет место следующая зависимость:

.

Для обратной задачи оценки переменного аннуитета постнумерандо приведенный денежный поток имеет вид:

Приведенная стоимость переменного аннуитета пренумерандо может быть рассчитана по формуле:

.

Как и в случае с будущей стоимостью .

Постоянный аннуитет постнумерандо.

Аннуитет называется постоянным, если все денежные поступления равны между собой. В этом случае .

Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться ранее рассмотренными вычислительными формулами. Однако, благодаря специфике постоянных аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощены.

Прямая задача оценки срочного постоянного аннуитета постнумерандо при заданных величинах регулярного денежного поступления А и процентной ставке r предполагает оценку будущей стоимости аннуитета .

Как следует из логики, присущей схеме постоянного аннуитета постнумерандо, записанный в порядке поступления платеже наращенный денежный поток имеет вид:

.

Откуда формулы для определения будущей стоимости принимают следующий вид:

или

Входящий в формулу множитель называется коэффициентом наращения ренты (аннуитета) и представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии с знаменателем 1+r.

Таким образом, .

Откуда .

Экономический смысл множителя заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного постоянного аннуитета в одну денежную единицу к концу срока его действия.

При этом предполагается, что производится только начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано только по окончании срока действия аннуитета.

Величина факторного множителя зависит от величины процентной ставки м срока действия аннуитета, причем с увеличением каждого из этих параметров величина множителя возрастает.

Значения факторного множителя для различных сочетаний процентной ставки и длительности периода табулированы и представлены в финансовых таблицах.

Факторный множитель показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления А.

В этой связи его называют также коэффициентом аккумуляции вкладов.

Пример.

Вам предлагается сдать в аренду участок на три года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) по 10 тыс. грн. в конце каждого года; б) 35 тыс. грн. в конце трехлетнего периода.

Какой вариант предпочтительнее, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

тыс. грн.

Таким образом, расчет показывает, что вариант а) выгоднее.

Нами рассмотрен наиболее общий вариант постановки задачи, когда денежные поступления имеют место один раз в конце периода и сложные проценты начисляются один раз за период.

Так как логика срочных постоянных аннуитетов довольно часто встречается в финансовых контрактах, есть необходимость рассмотреть и другие возможные варианты финансовых условий, а именно: денежные поступления могут иметь место несколько раз за период, начисление процентов может проводиться не только ежегодно, но и несколько раз на год, может использоваться не только схема сложных, но и схема простых процентов и пр.

Постоянный аннуитет постнумерандо с начислением процентов m – раз за период.

Если r является процентной ставкой за базовый период, а начисление сложных процентов происходит m раз в течение этого периода, то наращенный денежный поток, начиная с последнего денежного поступления, имеет вид:

.

Другими словами, мы получили геометрическую прогрессию, первый член которой равен А и знаменатель которой - . Следовательно, сумма первых n членов этой прогрессии будет равна:

Другой очень важной ситуацией, которая часто встречается в финансовых операциях, является ситуация, когда в течение базового периода начисления процентов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются один раз в конце периода.

В рамках этой ситуации возможно решение двух задач:

1) используется для начисления схема сложных процентов;

2) используется схема простых процентов.

Рассмотрим первую из них.

Пусть в течение базового периода денежные поступления происходят p раз и один раз в конце периода начисляются сложные проценты в соответствии с ставкой r.

На последнее поступление проценты не начисляются и оно остается равным А. На предпоследнее р – 1 поступление начисляются сложные проценты за часть периода 1/р и оно будет равно . На р – 2 поступление начисляются сложные проценты на часть периода 2/р и оно будет равно и т.д. до первого денежного поступления включительно, которое будет равно . Полученная последовательность величин представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом А, знаменателем и числом членов, равным р.

Поэтому будущая стоимость такого аннуитета будет определяться из выражения:

, или .

Поскольку , значения в финансовых таблицах как правило не приводятся. Поэтому для расчета коэффициента наращения такого аннуитета пользуются формулой: .

Рассмотрим вторую задачу, полагающую, что на отдельные взносы, поступающие в течение периода, происходит начисление простых процентов. Для этого определим сумму, которая накопится к концу любого периода.

Как и в предыдущем случае на последнее р-е поступление денежных средств проценты не начисляются и оно остается равным А.

На предпоследнее поступление за период р – 1 начисляются простые проценты за 1/р - часть периода и оно будет равно

Аналогичным образом предшествующее (р –2) – е поступление станет равным и т.д. Наконец, первое поступление будет равняться .

Полученные величины образуют арифметическую прогрессию (разность равна; число членов р), следовательно сумма членов такой прогрессии будет равна:

Таким образом, имеем дело с аннуитетом, в котором денежные поступления в каждом периоде равны величине .

Для определения будущей стоимости такого аннуитета используется формула: .

Рассмотрим самую общую ситуацию, когда в течение базового периода денежные поступления происходят р раз и проценты начисляются m за период. Здесь возможны две ситуации: либо начисляются простые проценты, либо - сложные.

Если происходит начисление только сложных процентов, то, как и ранее, определяем вначале сумму, образовавшуюся в конце любого периода.

Последнее поступление в периоде остается равным А, т.к. на него не производится начисление процентов. Предпоследнее поступление после начисления сложных процентов составит Предшествующее ему поступление - и т. д. вплоть до первого, которое станет равным Сумма полученных величин составит:

Будущая стоимость аннуитета с денежными поступлениями, равными полученной сумме, определяется по формуле:

Пример.

Вам предлагается сдать в аренду участок с арендной платой в размере 5 тыс. грн. в конце каждого полугодия. При этом возможно начисление процентов: а) ежегодное; б) полугодовое; в) ежеквартальное.

Какой из вариантов предпочтительнее?

а) ежегодное начисление процентов.

Возможно либо начисление сложных, либо простых процентов.

Будущая стоимость аннуитета при начислении сложных процентов:

тыс. грн.

Если в течение года начисляются простые процента, то будущая стоимость аннуитета составит:

тыс. грн.

б) начисление процентов по полугодиям:

тыс. грн.

в) ежеквартальное начисление процентов:

тыс. грн.