Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Lek5_12.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
20.11.2019
Размер:
353.79 Кб
Скачать

6

Лекция 5.

§ 5. Интерполирование по равноотстоящим узлам.

Здесь мы воспользуемся интерполяционным многочленом в форме Ньютона , преобразовав его к форме, удобной для интерполирования по равноотстоящим узлам.

Пусть даны точки x0 , x1 ,..., xn ,принадлежащие промежутку [a,b] и в них значения некоторой функции f (x) : f (x0) = y0 , f (x1) = y1 , f (x2) = y2 , ... , f (xn) = yn . Пусть нам нужно вычислить значение функции f в некоторой точке x* , не совпадающей ни с одной из точек xi . В зависимости от положения точки x* , мы будем строить многочлены для начала , конца , или середины таблицы.

Рассмотрим интерполяционный многочлен в форме Ньютона вида

  1. Начало таблицы.

Пусть точка x* лежит между точками x0 и x1 . Введем новую переменную t , положив . Точками интерполирования будут ближайшие к точке x* узлы т.е. x0 , x1 , ... , xk .

x

y

y

2y

ny

x0

y0

y0

2y0

...

n y0

x1

y1

y1

2y1

...

x2

y2

y2

...

...

...

...

2yn-2

xn-1

yn-1

yn-1

xn

yn

Тогда интерполяционный полином в форме Ньютона будет иметь вид:

(5.1)

Это интерполяционный полином в форме Ньютона для начала таблицы.

О погрешности.

  1. Конец таблицы.

Пусть точка x* лежит между точками xn-1 и xn . Тогда переменная t будет определена по правилу th=x-xn. Точками интерполирования будут точки xn , xn-1 , ... , xn-k . Интерполяционный полином будет иметь вид

(5.2)

  1. Середина таблицы.

Пусть точка x* расположена так, что точки таблицы находятся с двух сторон от нее. В этом случае нам придется и в качестве точек интерполирования брать точки с двух сторон от нее. Пусть ближайшей к x* , является точка xi . Мы будем рассматривать точки ... xi-2 , xi-1 , xi ,

xi+1 , xi+2 , ... . Переобозначим их для удобства , т.е. ...x-2 , x-1 , x0 , x1 , x2 ... .

x

y

y

2y

ny

...

...

...

...

x-2

y-2

y-2

...

x-1

y-1

y-1

2y-1

...

x0

y0

y0

2y0

...

n y0

x1

y1

y1

2y1

...

x2

y2

y2

...

...

...

...

...

...

x k-1

yk-1

yk-1

x k

yk

Нам придется рассмотреть 2 случая .

а) x* лежит между x0 и x1 . В этом случае узлы интерполирования расположатся следующим образом x0 , x1 , x-1 , x2 , x-2 , ... . Положим . Интерполяционный полином будет иметь вид:

(5.3)

Эта формула называется формулой Ньютона - Гаусса для середины таблицы интерполирования вперед.

б) x* лежит между x-1 и x0 . Узлы выберем в следующей последовательности :

x0 , x-1 , x1 , x-2 , x2 , ... . Снова полагаем и получаем интерполяционный многочлен в виде:

(5.4)

Это формула Ньютона - Гаусса для середины таблицы интерполирования назад.

С помощью полусуммы этих двух формул можно получить формулу Стирлинга:

(5.5)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]