Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Lek1_2_12.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
11.11.2019
Размер:
596.48 Кб
Скачать

10

Лекция 1,2.

Литература.

  1. И.П.Мысовских Лекции по методам вычислений . 1998.

  2. Д.К.Фаддеев, В.Н.Фаддеева Вычислительные методы линейной алгебры. 2002.

  3. И.С.Березин, Н.П.Жидков. Методы вычислений. Т. 1, 2. 1959.

  4. В.И.Крылов, В.В.Бобков, П.И.Монастырный. Вычислительные методы высшей математики. 1972.

  5. Дж.Ортега, У.Пул. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. 1986.

Глава 1 . Решение нелинейных уравнений и систем.

§ 1. Нахождение начальных приближений.

Рассмотрим уравнение

(1.1)

Пусть это уравнение имеет решение. Чаще всего решение не единственное. Поэтому нам надо каким-то образом отделить то решение, которое нас интересует. Обычно либо уже в условии задачи говорится о том, что в некотором промежутке имеется единственное решение, либо мы можем построить грубый график функции и определить приближенное решение.

Пример 1. Найти начальное приближение для уравнения .

1-й способ: строим график функции и находим точки пересечения этого графика с осью х.

2-й способ: переписываем уравнение в виде , строим графики 2-х функций и , затем находим точки их пересечения.

Из этих рисунков ясно, что за начальное приближение можно взять значение x 1.1 .

Пример 2. Найти начальное приближение для уравнения

.

Строим графики двух функций и .

Из рассмотрения этих графиков ясно, что уравнение имеет 2 корня на промежутке

, симметричных относительно нуля. За начальное приближение для положительного корня можно взять x0 = 1 .

Если уравнение имеет несколько корней, то обычно в задании указывается дополнительная информация о нужном корне.

Рассмотрим некоторые методы. Обычно используются, так называемые итерационные методы. Сущность всех этих методов состоит в том, что, зная какое-либо начальное приближение к корню или отрезок, содержащий корень, мы можем построить последовательность приближенных значений, которая сходится к корню. Способ построения такой последовательности и определяет метод. При этом нужно доказать, что построенная последовательность сходится и именно к корню.

§ 2. Простейшие итерационные методы.

Определение. Метод называется итерационным, если по одному или нескольким заданным начальным приближениям строится бесконечная последовательность приближенных решений, которая сходится к точному решению уравнения.

Метод деления отрезка пополам .

Пусть функция непрерывна на промежутке [a , b] и известно, что на [a , b] лежит только один корень уравнения . Обозначим его x* .

1-й шаг: Полагаем . Вычисляем . Если =0, то — корень уравнения и вычисления заканчиваются. В противном случае выполняем

2-й шаг: Полагаем

.

Вычисляем . Если , то — корень уравнения, и вычисления заканчиваются. В противном случае повторяем 2-й шаг, где вместо возьмем , а вместо получим . Продолжая зтот процесс, получим последовательности

. . .

. . .

Числа и образуют промежуток [an , bn ], длина которого стремится к 0 при , а . Имеет место оценка

.

Если мы хотим получить корень с точностью , то вычисления можно прекратить, если величина справа окажется меньше . Следовательно, мы заранее можем определить число шагов, которое нам потребуется для получения корня с заданной точностью. Это будет наименьшее целое число, которое удовлетворяет неравенству:

(2.1)

Метод хорд (секущих).

Этот метод хорошо применять для функций, монотонных в окрестности корня.

Пусть мы нашли отрезок [a,b], внутри которого лежит один корень уравнения . Обозначим и Найдем точку пересечения прямой, проходящей через точки , с осью х :

(2.2)

Вычислим . Вычисляем точки по правилу:

(2.3)

Заменив в формуле (2.2) a0 , b0 на a1 , b1 , найдем точку x1 и вычислим точки a2 , b2 .

Продолжая этот процесс, построим последовательность приближений x0 , x1 , ... , xi ,... по формулам

(2.4)

и точки ai и bi по следующему правилу:

(2.5)

Вычисления продолжаются до тех пор, пока при заданном малом >0 не окажется выполненным условие |xi-xi-1| <  .

Рассмотрим пример. Найти корень уравнения . Здесь . Построим график функции f(x):

Из графика видно, что единственный корень этого уравнения лежит между 0 и /2. Можно положить a0=0, b0=/2.

  1. Находим . Чтобы получить следующий промежуток, подсчитаем , т.е.

. В качестве следующего промежутка можно взять . Подсчитаем x1 и x2 :

теперь , значит, следующий промежуток будет . Найдем x2 :

Если продолжить вычисления, то получим и так далее.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]