Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
lection_14_present.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
16.11.2019
Размер:
688.34 Кб
Скачать

Глава 3. Линейные пространства

3.18. Векторное произведение векторов

Определение 3.18.1. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом = и определяемый следующим образом:

1) модуль вектора равен произведению модулей векторов и на синус угла между этими векторами = sin, где .

2) вектор перпендикулярен каждому из векторов и ;

3) вектор направлен так, что упорядоченная тройка векторов , , является правой (рис. 3.18.1).

Рис.3.18.1

Ясно, что если хотя бы один из векторов и нулевой, то их векторное произведение есть нулевой вектор.

Наряду с введенным обозначением будем использовать, когда это удобно, и другую форму записи векторного произведения [ , ].

Лемма 3.18.1. Векторное произведение двух неколлинеарных векторов и , причем — произвольный вектор, а — единичный вектор, равно вектору , построенному следующим образом:

1) векторы и приведены к общему началу О;

2) вектор получен в результате проектирования вектора на плоскость , перпендикулярную к вектору и проходящую через О;

3) вектор построен с помощью поворота вектора в плоскости на угол, равный 90, так чтобы упорядоченная тройка , , была правой.

Доказательство. Пусть — угол между векторами и , — угол между вектором и его проекцией . Нетрудно видеть, что вектор лежит в той же плоскости, что и векторы и (рис. 3.18.2, 3.18.3). Поэтому векторы и перпендикулярны плоскости, определяемой векторами , , и, следовательно, они коллинеарны. Кроме того,

Рис. 3.18.2

Рис. 3.18.3

поэтому По построению тройка векторов , , — правая. В силу того, что 0 <  < 90, тройка векторов , , также будет правой. Однако, по определению векторного произведения тройка , , является правой, поэтому , отсюда = .

Теорема 3.18.1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов и является равенство .

Доказательство. Необходимость. Пусть и коллинеарны. Тогда угол между ними равен 0, если они сонаправлены и равен 180, если они противоположно направлены, но в любом случае

Достаточность. Пусть следовательно,

| | = 0 sin = 0  k, k  Z .

Теорема 3.18.2 (свойства векторного произведения). Для любых трех векторов и произвольного числа справедливы соотношения:

1.  (антикоммутативность);

2.  (ассоциативность относительно числового множителя);

3. (  +  ) =  +   (дистрибутивность относительно суммы векторов);

4.   = (для любого вектора ).

Доказательство. Свойство 1. Будем считать, что векторы и неколлинеарные, иначе свойство 1 очевидно. Пусть векторы = и , а — угол между и . Ясно, что

.

Понятно, что векторы и коллинеарные, так как они перпендикулярны плоскости, в которой лежат векторы и . Согласно определению векторного произведения, упорядоченные тройки векторов , , и , , являются правыми, а это влечет противоположную направленность векторов и (рис. 3.18.4). Следовательно, векторы и — противоположные, т. е. .

С

Рис. 3.18.4

войство
 2. Будем считать, что векторы и неколлинеарные,   0. Пусть , , . Ясно (рис.3.18.5, 3.18.6), что

Векторы и коллинеарны, так как они перпендикулярны плоскости, определяемой векторами и .

.

Если

 0 .

Если

 0 .

Таким образом,

, .

Рис. 3.18.5

Рис. 3.18.6

Свойство 3. Будем считать, что , и . Докажем сначала справедливость равенства , где — единичный вектор. Будем предполагать, что векторы , , некомпланарны.

Приведем векторы , , к общему началу О. Спроектируем векторы , на плоскость , перпендикулярную вектору и проходящую через точку О. Получаем соответственно векторы , , (рис. 3.18.7). Построим векторы , , как указано в лемме. По определению суммы векторов = + . Но в силу леммы = , = , = , поэтому = + .

Рис. 3.18.7

Ясно, что если , , компланарны, то доказательство и соответствующий чертеж значительно упрощаются.

Пусть — орт вектора , тогда , поэтому

Свойство 4. Справедливость указанного соотношения непосредственно вытекает из определения векторного произведения.

Доказанные свойства позволяют при векторном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно и производить объединение числовых множителей. При этом нужно тщательно следить за порядком векторных множителей.

Теорема 3.18.3. Векторное произведение векторов и , заданных своими аффинными координатами, вычисляется по формуле

. (3.18.1)

Доказательство. По определению аффинных координат , , поэтому с учетом свойств векторного произведения

=

=

.

Следствие 3.18.1. Векторное произведение векторов и , заданных своими декартовыми прямоугольными координатами, находится по формуле

(3.18.2)

Доказательство. Пусть , , — ортонормированный базис декартовой прямоугольной системы координат. Поскольку , то в формуле (3.18.1) , , . С учетом равенств , получаем формулу (3.18.2).

Теорема 3.18.4. Модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов и равен площади S параллелограмма, построенного на этих векторах, после приведения их к общему началу, т. е.

| | = S. (3.18.3)

Доказательство. Известно, что площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними (рис. 3.18.8) SOBDA  , где — угол между векторами и . Отсюда SOBDA.

Рис. 3.18.8

Следствие 3.18.2. Векторное произведение , где — орт векторного произведения , S — площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

Следствие 3.18.3. Площадь параллелограмма, построенного на двух неколлинеарных векторах и , заданных своими прямоугольными декартовыми координатами и приведенных к общему началу, определяется по формуле

S =  .

Указанное равенство вытекает из соотношений (3.18.3), (3.18.2) и формулы для определения модуля вектора.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]