§ 5 . Метод Ньютона.
Пусть требуется найти корень уравнения
(5.1)
Пусть х0 — начальное приближение. Разложим функцию в ряд тейлора в окрестности точки х0 :
где — некоторая точка из окрестности . Возьмем в этом разложении линейную часть и запишем уравнение:
(5.2)
Это уравнение линейно. Обозначим его решение через . Тогда
Теперь точку считаем приближением к решению уравнения (5.1) и проделываем с ней то же, что и с . Получаем :
Продолжая этот процесс, построим последовательность по правилу:
, k = 1 , 2 , ... (5.3)
Очевидно, чтобы последовательность (5.3) можно было построить, функция не должна обращаться в 0 ни в одной из точек .
Геометрический смысл этого построения.
Уравнение является уравнением касательной к кривой в точке . А решение уравнения (5.2) — точка пересечения этой касательной с осью х .
Чтобы изучить вопрос о сходимости последовательности (5.3), перепишем уравнение (5.1) в виде:
(5.4)
Для этого уравнения можно построить последовательные приближения по методу итераций при . Легко показать, что . Действительно, , т.к. х * — корень уравнения (5.1). В то же время , следовательно, мы получили метод итераций 2-го порядка. Значит, , где — ошибка, полученная на к -м шаге, а — некоторая точка в окрестности корня. Таким
образом, ошибка на каждом следующем шаге возводится в квадрат и если, например, , то сходимость к решению будет очень быстрая. Иногда такую сходимость называют квадратичной
Теперь рассмотрим метод Ньютона для систем уравнений. Пусть дана система нелинейных уравнений:
(5.5)
где .
Пусть — начальное приближение к решению системы (5.5).
Замечание. Для систем вопрос о нахождении начального приближения очень сложный, и в общем виде не решается. Его удается решить только в некоторых простых частных случаях. Поэтому чаще всего начальное приближение дается вместе с задачей.
Разложим в ряд Тейлора, как вектор - функцию от нескольких переменных в окрестности точки :
(5.6)
где — матрица Якоби. Она имеет вид:
(5.7)
Запишем линейную систему:
(5.8)
Эту систему можно считать приближенной к системе (5.5), поэтому ее решение можно считать приближением к решению системы (5.5). Поскольку система (5.8) линейная, мы можем найти ее решение:
Обозначим этот вектор через . Аналогично найдем . Таким образом, мы построим последовательность по правилу:
(5.9)
Если эта последовательность сходится к пределу и все ограничены, то будет решением системы (5.5). (без доказательства)
Если эта последовательность сходится к пределу и все ограничены, то будет решением системы (5.5). (без доказательства)
Рассмотрим систему 2-х уравнений:
Здесь . Тогда . Получим линейную систему
. Решая эту систему, получаем приближения по формулам:
где
Продолжая этот процесс, получаем общие формулы для построения приближенного решения:
, k = 0 , 1 , 2 , ... (5.10)
где