§ 6 . Численное дифференцирование.

Пусть на промежутке [a,b] дана некоторая система точек x₀ , x₁ , ... ,x_n и в этих точках даны значения некоторой функции f (x) . Ставится задача о вычислении производных от этой функции в какой-либо точке на промежутке [a,b], при условии, конечно, что функция дифференцируема нужное число раз. Эту задачу можно решить с помощью интерполяционного многочлена. Действительно, если P_n(x) - интерполяционный многочлен степени n для функции f (x), построенный по точкам x₀ , x₁ , ... ,x_n , то можно считать производную от функции f (x) приближенно равной производной от многочлена P_n(x) . Рассмотрим некоторые наиболее часто употребляющиеся формулы.

Пусть точки x₀ , x₁ , ... ,x_n расположены на промежутке равномерно: x_i+1=x_i+h, где h - постоянный шаг. Построим таблицу конечных разностей для f (x).

x	y	y	2y		ny
x0	y0	y0	2y0	...	n y0
x1	y1	y1	2y1	...
x2	y2	y2	...
...	...	...	2yn-2
xn-1	yn-1	yn-1
xn	yn

Пусть мы хотим найти первую производную функции f (x) в точке . Запишем интерполяционный многочлен для начала таблицы:

Здесь , поэтому при дифференцировании по x появится множитель .Таким образом, можно записать

Пусть у нас интерполяционный многочлен имет 1-ю степень, т.е. .

Тогда . (6.1)

Эта формула называется первой разностной производной вперед. Для вычисления первой производной функции f (x) в точке x₁ можно снова воспользоваться многочленом .

Получим _(6.2).

Эта формула называется первой разностной производной назад.

Рассмотрим погрешность каждой из полученных формул. Для погрешности интерполирования многочленом 1-й степени имеет место оценка : , т.е. . Но t<1 , следовательно, ошибка интерполирования является величиной порядка h² . Тогда ошибка производной будет величиной порядка h . Таким образом, мы получили формулы для первой производной первого порядка точности. Получим теперь для формулу второго порядка точности. Возьмем интерполяционный полином для начала таблицы 2-го порядка: . Запишем приближенно 1-ю производную для f (x) в точке x₀ : , или , т.е.

. Таким образом , мы получили формулу : . (6.3)

Это выражение называется односторонней первой разностной производной второго порядка точности. Действительно, ошибка интерполирования многочленом 2-го порядка оценивается величиной , где M₃ - положительная постоянная, ограничивающая сверху на промежутке [x₀ , x₂] длины 2h .

Теперь рассмотрим центральную разностную производную 1-го порядка. Для этого запишем интерполяционный многочлен Стирлинга 1-й степени

. Этот многочлен построен по узлам . Продифференцируем этот многочлен: . Таким образом, можно положить . (6.4)

Погрешность этой формулы будет .

Теперь рассмотрим 2-ю производную. Возьмем интерполяционный многочлен для начала таблицы 2-й степени: . Продифференцировав его дважды, получим . Т.е. можно положить . Погрешность интерполирования снова оценивается величиной , следовательно, погрешность 2-й производной будет величиной O(h). Чтобы получить для 2-й производной формулу более высокого порядка точности, рассмотрим 3 точки x_-1 , x₀ , x₁ . Запишем интерполяционный многочлен Стирлинга 2-го порядка: . Для этого многочлена погрешность, вообще говоря, оценивается величиной , но если мы это выражение дважды продифференцируем и положим t=0, то член, дающий оценку погрешности для производной обратится в 0, следовательно, нам нужно рассмотреть погрешность интерполяционного многочлена 3-й степени. Ее погрешность оценивается величиной . Для функции f(x) 2-я производная в точке x₀ может быть определена по формуле . (6.5)

Погрешность этой формулы будет величиной O(h²).