Учет инфляции при использовании схемы простых процентов.
Пусть на капитал PV происходит начисление простых процентов по ставке r в течение времени n и индекс цен за это время равен Ip, тогда учитывая обесценение денег за это время, получим:
где
представляет собой множитель наращения
простых процентов с учетом инфляции.
Из
приведенной выше формулы следует, что
реальное наращение первоначального
капитала с учетом покупательной
способности денег будет происходить
только в том случае, если
Если
,
то наращение только компенсирует
негативное действие инфляции. Из
этого выражения следует, что:
Ставка
является минимально допустимой процентной
ставкой, при которой не происходит
реального уменьшения (эрозии) капитала,
несмотря на начисление процентов. Эту
ставку называют реальной.
Ставка, превышающая , называется положительной процентной ставкой , так как только в этом случае будет происходить реальное увеличение капитала.
Если же полученная наращенная сумма не компенсирует потерю покупательной способности капитала в результате инфляции, то такую банковскую ставку называют отрицательной.
Пример. На сумму 5 тыс. грн. в течение трех месяцев начислялись простые проценты по ставке 40% годовых. За каждый месяц цены росли соответственно на 15, 12, и 10%.
Необходимо найти наращенную с учетом инфляции сумму и величину положительной процентной ставки.
Индекс
цен за квартал составит:
Будущая стоимость с учетом инфляции:
тыс.
грн.
При 40% годовых при заданном уровне инфляции реального наращения капитала не будет, а будет, наоборот, иметь место эрозия капитала.
Величина положительной процентной ставки составит:
.
Следовательно, при данном росте цен реальное наращение капитала будет происходить только при ставке, превышающей 166,72%.
В целях уменьшения негативного воздействия инфляции и компенсации потерь от снижения покупательной способности денег используются различные методы. Одним из них является индексация процентной ствки, используемой при заключении финансового соглашения. Сущность этого метода заключается в том, что процентная ставка корректируется в соответствии с темпом инфляции. Величина коррекции оговаривается в условиях контракта. Это делается для того, чтобы в условиях инфляции стоимость первоначального капитала действительно увеличивалясь с течением времени.
Такую новую с поправкой на инфляцию ставку называют брутто-ставкой. В этом контексте исходную процентную ставку называют иногда нетто-ставкой.
Для обеспечения полной компенсации негативного дейстия инфляции и получения доходности согласно первоначальной ставке r , определяется размер брутто ставки из равенства:
т.е.
Пример. Для условий последнего примера определить брутто-ставку, которая обеспечила бы реальную доходность финансовой операции на уровне 40% годовых.
Проведенные расчеты показывают, что ставка в 223,4% годовых при наращении простыми процентами обеспечивает при заданных условиях реальную доходность в 40% годовых.
Если объявлена норма доходности, т.е. задана брутто-ставка, то из ранее рассмотренного равенства можно определить реальную процентную ставку, т.е. доходность финансовой операции с учетом инфляции при начислении простых процентов:
Таким образом, при инфляции различают следующие виды процентных ставок.
Номинальная процентная ставка – это исходная базовая, как правило, годовая процентная ставка, указанная в договоре. Доходность, выражаемая этой ставкой, не скорректирована на инфляцию.
Реальная процентная ставка – показывает доходность с учетом инфляции Характеризующейся снижением покупательной способности денег. Реальная процентная ставка в условиях инфляции всегда меньше номинальной и может быть даже отрицательной.
Положительная процентная ставка – это любая ставка, при которой будет происходить реальное увеличение стоимости капитала при данном индексе инфляции.
Брутто-ставка – это по существу, любая процентная ставка, превышающая номинальную. Но, как правило, брутто-ставка является положительной процентной ставкой.
Если
наращение капитала
происходит на основе простой учетной
ставки
в течение времени
и индекс цен за это время равен
,
то в этом случае величина учетной ставки
,
компенсирующей инфляционные потери,
определяется из равенства:
Из этого выражения путем несложных преобразований можно получить:
Если задана ставка , то из вышеприведенного равенства можно определить реальную учетную ставку, позволяющую оценить соответствующим образом доходность финансовой операции с учетом инфляции:
Пример. Банк выдает клиенту кредит на 2 месяца, в течение которых по оценкам экспертов ежемесячный индекс инфляции составит 1,01.
Необходимо найти значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции, если банк желает обеспечить реальную доходность, определяемую простой учетной ставкой в 25% годовых.
Индекс
инфляции за 2 месяца (или за
)
составит:
.
или
36,33%.
Учет инфляции при использовании схемы сложных процентов.
Предположим, что на капитал PV в течение n лет начисляются сложные проценты по ставке r и индекс цен за это время составил Ip.
Тогда накопленная с учетом инфляции сумма составит:
Отсюда
ясно, что для того, чтобы не происходило
эрозии капитала должно выполняться
неравенство
,
что равносильно
Если имеет место строгое равенство, то такая ставка только нейтрализует отрицательное действие инфляции, т.е. нет эрозии капитала.
Если имеет место строгое неравенство, то ставка, обеспечивающее наращение капитала, называется положительной:
Если в финансовой операции используется сложная учетная ставка, то размер положительной учетной ставки должен удовлетворять выражению:
В рассматриваемых формулах в качестве базовой единицы измерения не обязательно брать год. Если в качестве базовой единицы выбирается месяц, то индекс инфляции, темп инфляции и пр. характеристики также необходимо рассматривать за месяц.
Пример. На вклад в 30 тыс. грн. ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 40%.
Необходимо оценить сумму вклада через 1,5 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции 2% в месяц.
Какова должна быть величина положительной процентной ставки?
Как изменится ситуация, если темп инфляции будет 4% в месяц?
Будущая стоимость вклада без учета инфляции:
тыс.
грн.
Индекс инфляции за 1,5 года при темпе инфляции 2% в месяц:
Величина вклада с точки зрения ее покупательной способности:
тыс.
грн.
Реальный доход владельца вклада: 37,902 – 30,0 = 7,902 тыс. грн.
Положительная процентная ставка:
Таким образом, при темпе инфляции 2% в месяц и ежемесячном начислении сложных процентов реальное наращение капитала будет происходить при процентной ставке, превышающей 24% годовых.
При
темпе инфляции в 4% в месяц:
тыс. грн., т.е. вкладчик с точки зрения
покупательной способности потерпит
убытки в размере 26,721 – 30,0 = -3,279 тыс. грн.
Как отмечалось ранее, для обеспечения реальной доходности на уровне объявленной номинальной процентной ставке, ее необходимо индексировать, т.е. найти так называемую брутто-ставку.
Брутто-ставки для номинальной процентной и номинальной учетной ставки определяются по следующим формулам:
и
Для условий ранее рассмотренного примера при темпе инфляции 2% в месяц размер брутто ставки составит:
Т.е. ставка 64,8% годовых при ежемесячном начислении сложных процентов и данном темпе инфляции обеспечивает реальную доходность в 40% годовых. Аналогичным образом при темпе инфляции в 4% в месяц брутто-стака составит 89,6%.
Ранее
отмечалось, что между индексом цен и
темпом инфляции существует соотношение
.
Если n=1,
m=1,
то из выражения
получаем
.
Это равенство называется формулой
Фишера, а величина h+rh
– инфляционной премией, которую
необходимо прибавить к исходной ставке
доходности для компенсации инфляционных
потерь.
В
практических расчетах при малом значении
rh
пользуются приближенной формулой
.
Это допустимо при малом темпе инфляции
и невысокой процентной ставке.
Задаваясь брутто-ставкой и пользуясь ранее полученными формулами можно определить реальную процентную и реальную учетную ставки. В случае m-кратного начисления сложных процентов эти формулы имеют следующий вид:
