
- •5. Векторы, основные определения, понятия, действия над ними
- •9. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение
- •15. Предел числовой последовательности.
- •16. Предел функции, его геометрическая интерпретация, действия над пределами.
- •17. Первый и второй замечательный предел
- •18. Бесконечно малые величины, их свойства, эквивалентность.
- •19. Раскрытие неопределённостей
- •20. Непрерывность функции.Основные определения, теоремы
- •21. Точки разрыва
- •22. Свойство непрерывных функций на сегменте
- •23. Определение производной
- •24. Правила дифференцирования
- •25. Дифференциал функции
- •26. Производные высших порядков
- •27. Правило Лопиталя.
- •28. Применение производных к исследованию
- •30. Теорема Лагранжа, коши
- •31, Экстремум функции
- •32. Первообразная функции, интеграл и его свойства
- •33.Таблица интегралов
- •34. Методы вычисления неопределенного интеграла (непосредственное интегрирование, подстановкой, по частям).
- •35. . Интегрирование рациональных дробей.
- •36.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •37. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •38. Интегрирование иррациональностей.
- •39. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
- •40. Формула Ньютона- Лейбница. Свойства определенного интеграла.
- •41. Методы вычислений определенного интеграла( непосредственное, подстановкой, по частям).
- •42. Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой).
- •57. Дифференциальные уравнения 1 порядка, задача Коши.
- •58 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •59 Однородные ду первого порядка
- •60 Ду, допускающие понижение порядка.
- •2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •3. Уравнения, однородные относительно .
- •4. Обобщенно - однородные уравнения.
- •5. Уравнение в точных производных.
- •62 Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
- •63. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.
- •71. Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление.
- •72. Различные определения вероятности.
- •73. Теорема умножения вероятностей.
- •74. Схема Бернулли повторных испытаний. Формула Бернулли.
- •75. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •77. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Числовые характеристики.
- •78.Законы распределения: биномиальный, Пуассона, равномерный, показательный, нормальный.
- •79. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.
- •80. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
58 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейным уравнением первого порядка называют уравнения вида
(1)
где
-
заданные функции независимого переменного
x, определенные на некотором интервале
.
Существуют несколько методов решения этого уравнения.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Сначала решаем однородное уравнение
методом разделения переменных
или
,
где
Тогда все решения уравнения (1) определяются формулой
Метод Бернулли.
Решение
уравнения (1) ищем в виде
.
Подставляем данное выражение в
(1),решением которого является функция
,
где
-
произвольная постоянная. Перемножая
,
получим (3).
59 Однородные ду первого порядка
Определение
1.
Функция
называется
однородной функцией
n-го измерения относительно переменных x и y, если при любом λ справедливо тождество
.
Например,
функция
Определение
2.
Уравнение первого порядка
называется
однородным относительно x
и y,
если функция
есть
однородная функция нулевого измерения
относительно x
и y.
Эти частные решения имеют вид
,
которые называются особыми решениями.
60 Ду, допускающие понижение порядка.
Уравнение
,
(1)
где
x - независимая переменная, y - искомая
функция, а функция F определена и
непрерывна в некоторой области
и
во всяком случае зависит от
,
называется обыкновенным
дифференциальным уравнением n -го
порядка.
Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.
1.
Уравнения, не содержащие искомой функции
и нескольких последовательных
производных.
Рассмотрим уравнения вида
. (2)
С
помощью замены
,
где u - новая неизвестная функция,
уравнение (2) приводится к уравнению
(n-k) -го порядка:
.
2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Рассмотрим
уравнения вида
.
(3)
С
помощью замены
.
Данная
подстановка дает уравнение (n-1)
- го порядка относительно новой
неизвестной функции p:
3. Уравнения, однородные относительно .
Рассмотрим уравнения вида , (4)
где F является однородной с показателем m относительно , т.е.
.
С
помощью замены
,
где u
- новая неизвестная функция, порядок
уравнения (4) понижается на единицу.
Имеем
,
,
.
Данная
подстановка дает дифференциальное
уравнение (n-1)
- го порядка относительно новой
неизвестной функции u:
.
4. Обобщенно - однородные уравнения.
Рассмотрим уравнения вида
. (5)
Уравнение
(5) называется обобщенно
- однородным,
если существуют числа k
и m
такие, что
.
Подстановка
последних равенств ,дает уравнение
вида
,
которое явно не содержит независимую переменную t.