39. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
Определенным
интегралом
от
функции f(x)
на отрезке [а,
b]
называется предел,
к
которому стремится интегральная сумма
,
составленная
для этой функции на этом отрезке, когда
наибольшая длина элементарных отрезков,
на которые разбит отрезок [а,
b],
стремится к нулю:
В символе определенного интеграла а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [а, b] - отрезком интегрирования, f(x) называется под интегральной функцией, a f(x)dx - подинтегральным выражением; х называется переменной интегрирования.
40. Формула Ньютона- Лейбница. Свойства определенного интеграла.
Если
непрерывна
на отрезке
и
Ф — ее любая первообразная на этом
отрезке, то имеет место равенство
Основные свойства определенного интеграла:
1. Если с — постоянное число и функция f(x) интегрируема на [а;b], то
то есть постоянный множитель c можно выносить за знак определенного интеграла.
2.
Если функции
и
интегрируемы
на [a; b], тогда интегрируема на [a;
b]
их алгебраическая сумма и
|
то есть интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов.
3.
Это
свойство можно принять по определению.
Это свойство также подтверждается
формулой Ньютона-Лейбница.
4.
Если
функция f(x)
интегрируема
на
[a;
b]
и а <
с < b,
mo |
то есть интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла .
5.
Теорема о среднем.
Если
функция f(x)
непрерывна на отрезке [а;
b],
то
существует точка с
[a.;b]
такая, что
6.
Если
функция f(x)
сохраняет
знак на отрезке [а;
b],
где а <b,
то интеграл
имеет
тот же знак, что и функция.
Так,
если
на
отрезке [а; b],
то
.
7.
Неравенство
между непрерывными функциями на отрезке
[а;b],(а
< b)
можно интегрировать.
Так,
если
при
,
то
.
8. Оценка интеграла. Если m и M — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = f(x) на отрезке [а;b], (а < b), то
.
9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:
где
a<b.
10.
Пусть функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a;b].
Рассмотрим интеграл
.
Значение интеграла зависит от обоих
пределов интегрирования a
и b.
Теорема.Производная
от интеграла по верхнему пределу равна
подынтегральной функции, в которой
переменная интегрирования заменена
этим пределом, то есть
41. Методы вычислений определенного интеграла( непосредственное, подстановкой, по частям).
Интегрирование по частям .
Теорема.
Если
функции u=u(x)
и v=v(x)
имеют непрерывные производные на
отрезке [a;b],
то
имеет место формула
|
Формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Интегрирование методом подстановки .
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции f(x)
сделана подстановка x=φ (t).
Теорема. Если:
1. Функция x=φ (t) и ее производная x’=φ’ (t). непрерывны при t= ∈[a;b];
2. Множеством значений функции x=φ (t) при t= ∈[a;b] является отрезок [a;b];
3.
и
,
то
|
Формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.