Дифференциальное уравнение теплоотдачи
Дифференциальное уравнение теплоотдачи выводится на основе анализа явления теплообмена в месте соприкосновения теплоносителя со стенкой.
Закон Фурье можно записать:
Этот же поток можно определить формулой Ньютона:
Приравниваем, и после переставлений членов, получим:
- дифференциальное уравнение теплоотдачи.
Основы теории подобия физических явлений
Конвективный теплообмен описывается системой дифференциальных уравнений, включающих в себя уравнения теплообмена, теплопроводности, движения и сплошности.
Совокупность
дифференциальных уравнений очень
сложна в решении, поэтому в практике
прибегают к теории подобия, т.к.:
.
Теория подобия – это учение о подобных явлениях и применяется как средство обобщения результатов физического и математического эксперимента и как теоретическая основа для моделирования технических устройств.
Из условия подобия двух геометрических фигур можно записать:
Сℓ - константа геометрического подобия.
Для реализации подобия физических явлений необходима пропорциональность не только геометрических элементов систем, но и других физических характеристик (скорости, температуры, давления, объема и т.п.). Поэтому введены понятия:
одноименных величин,
сходственных точек и
сходственных моментов времени.
Одноименными называются величины, имеющие одинаковый физический смысл и одинаковую размерность.
Сходственными называются такие точки системы, координаты которых удовлетворяют геометрическому подобию. Сходственные моменты времени наступают по истечении периодов времени τ и τ′1, имеющих общее начало отсчета и связанных между собой константой подобия по времени:
Подобными называются явления, протекающие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках в сходные моменты времени отношения одноименных величин есть постоянные числа, называемые константами подобия. Например, для подобия двух явлений теплопередачи необходимо выполнить условия:
.
Подобными могут быть только явления одинаковой природы, описывающиеся одинаковыми аналитическими зависимостями.
Явления, описываемые одинаковыми уравнениями, но имеющие различную физическую природу, называются аналогичными. Например, закон Фурье и Фика:
(1)
Dc – коэффициент диффузии;
- градиент
концентрации;
М – плотность потока массы.
Из уравнений, отражающих закономерности протекания процессов могут быть выявлены связи между константами подобия.
Запишем уравнение теплоотдачи для двух сходственных явлений:
1.
(2)
2.
(3)
Константы подобия имеют одинаковое значение для параметров и их приращений. С учетом этого обозначим:
(4)
ℓ - характеризует размер системы.
Отсюда
следует:
Подставим это выражение в равенство (3) после перестановки членов и сокращения на Сt получим:
(5)
Уравнения (2) и (5) тождественны, т.к. они выражают связь между параметрами процесса, обусловленную дифференциальным уравнением теплоотдачи для одной и той же точки системы.
Из условия тождественности уравнений следует:
(6)
Это и есть связь между константами подобия, обусловленная уравнением теплоотдачи.
Заменим константы подобия в (6) и (4):
(7)
Следовательно, существуют такие безразмерные соотношения параметров, которые в у подобных явлениях в сходственных точках имеют численно одинаковые значения.
Эти безразмерные соотношения называются числами подобия и носят имена ученых. Выражение (7) – число Нуссельта.
(8)
Константы подобия сохраняют числовые значение только для двух подобных явлений, и они остаются одинаковыми для всех сходственных точек рассматриваемых систем.
Числа подобия сохраняют свое значение в сходственных точках всех подобных систем, но в различных точках одной и той же системы – различны.
Поэтому константы подобия используют при моделировании технических устройств, когда необходимо получить подобие только между двумя явлениями, а числами подобия – при обработке опытных данных или численных расчетов, когда на основании изучения единичных явлений необходимо получить обобщающую зависимость, пригодную для всех подобных между собой явлений.
Основу теории подобия составляют три теоремы:
1. У подобных явлений одноименные числа одинаковы, т.е. результаты одного опыта или расчета позволяют судить обо всех явлениях подобных исследуемому.
2. Если физическое явление описывается системой дифференциальных уравнений, то числа подобия могут быть получены из дифференциальных уравнений, описывающих последнее явление.
3. Подобны же явления условия, однозначности которых подобны или критерии, подобия которых одинаковы.
Таким образом, для установления факта подобия двух явлений, нет необходимости проверять подобие всех параметров во всех точках систем. Достаточно установить подобие полей этих величин на границах системы, а подобие во всем объеме установится как следствие подобия на границах. Например, Сℓ - геометрический критерий подобия, указывает, что размер модели должен быть подобным размером натуры.
Конвективный теплообмен в модельном образце будет подобным теплообмену в натуральном при обеспечении пяти критериев подобия (кроме выражения (8):
1. Критерий Прандля – подобие физических свойств жидкостей:
(9)
γ – кинетическая вязкость;
а – температуропроводность.
2. Критерий Грасгофа – подобие соотношения подъемной силы, возникающей вследствие разностей плотностей жидкости:
(10)
β – коэффициент объемного расширения;
g - ускорение силы тяжести.
3. Критерий Рейнольдса – определяет подобие режимов движения жидкости:
(11)
4. Критерий Эйлера – определяет подобие соотношения между силами давления и силой инерции:
(12)
5. Критерий Фруза – определяет подобие сил инерции к силам тяжести:
(13)