Міністерство аграрної політики України
Луганський національний аграрний університет	Лєві Л.І., Коваль А.В., Тащілін М.В. Кафедра фізико- математичних дисциплін ВИЩА МАТЕМАТИКА ЛІНІЙНА, ВЕКТОРНА АЛГЕБРА І АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ Методичні вказівки до практичних занять, індивідуальної та самостійної роботи з варіантами завдань для|задавання| розрахунково-графічної роботи для підготовки бакалаврів напряму “Геодезія, картографія та землеустрій” Луганськ-2010

УДК 681.513:62-50

Укладачі:

ЛЄВІ ЛЕОНІД ІСААКОВИЧ, доктор технічних наук

зав. кафедрою фізико-математичних дисциплін.

КОВАЛЬ АНАТОЛІЙ ВАСИЛЬОВИЧ, кандидат фізико-

математичних наук, доцент кафедри фізико-математичних

дисциплін.

ТАЩІЛІН МАКСИМ ВАСИЛЬОВИЧ, кандидат технічних

наук, доцент кафедри фізико-математичних дисциплін.

Вища математика. Лінійна, векторна алгебра і аналітична геометрія. Методичні вказівки до практичних занять, індивідуальної і самостійної роботи із завданнями для розрахунково-графічної роботи. Для підготовки бакалаврів напряму “Геодезія, картографія та землеустрій”. Лєві Л.І., Коваль А.В., Тащілін М.В. – Луганськ, Вид-во ЛНАУ, 2010. – 72 с.

Рецензенти:

Грібанов В.М., доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри

прикладної математики Східноукраїнського

національного університету ім. В. Даля.

Бурцев Г.Г., кандидат технічних наук, завідувач кафедри

опору матеріалів і теоретичної механіки

Луганського національного аграрного університету.

Видання розглянуте|розглядувати| і рекомендоване до друку|печатки|:

на засіданні кафедри фізико-математичних дисциплін (протокол № 2 від 5 жовтня 2010 року);

на засіданні методичної комісії будівельного факультету (протокол № 2 від 14 жовтня 2010 року).

ЗМІСТ

1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ………………………………………………… 4

1.1. Визначники. Обчислення|підрахунок| визначників ………………………….. 4

1.2. Матриці і їх властивості ………………………………………….. 7

1.3. Розв’язок систем лінійних рівнянь ……………………………… 9

1.4. Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 1 РГР ………………….. 11

2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА …………………………………………….... 15

2.1. Векторні і скалярні величини. Розкладання вектора по

координатним осям ………………………………………………… 15

2.2. Скалярний добуток двох векторів ………………………………... 16

2.2.1. Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 2 РГР ….…………….. 17

2.3. Векторний добуток двох векторів ………………………………... 18

2.3.1 Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 3 РГР ………………… 20

2.4. Мішаний добуток|добуток| трьох векторів ………………………………… 21

2.4.1. Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 4 РГР ………………… 22

3. Аналітична геометрія на площині|площині| …………………….. 23

3.1. Довжина і напрям|направлення| відрізку. Ділення|поділ| відрізку в заданому

відношенні|ставленні|. Площа|майдан| трикутника ………………………………….. 23

3.2. Пряма лінія на площині …………………………………………… 24

3.2.1. Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 5 РГР ……………….. 26

3.3. Криві другого порядку|ладу| в прямокутній системі координат ........ 28

3.3.1. Розв’язок типових прикладів|зразків| завдань|задавання| 6, 7 РГР ……………… 31

3.4. Криві другого порядку|ладу| в полярній системі координат.

Параметричні рівняння плоских кривих ……………………….. 35

4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ В ПРОСТОРІ|простір-час| ……………………… 38

4.1. Площина ……………………………………………………………. 38

4.1.1. Розв’язок типового прикладу|зразків| завдання|задавання| 8 РГР ……………….. 40

4.2. Пряма лінія в просторі|простір-час|. Взаємне розташування|пересічення| прямої

і площини|площина| ………………………………………………………….. 42

4.2.1. Розв’язок типових прикладів|зразків| завдань|задавань| 9, 10 РГР …………… 44

5. ЗАВДАННЯ|задавання| ДО РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ ……. 46

Додаток 1. Формули по елементарній математиці ………………… 65

Додаток 2. Таблиця тригонометричних функцій sin x, cos x …….. 67

Додаток 3. Таблиця тригонометричних функцій tg x ……………. 68

Додаток 4. Номери індивідуальних завдань|задавань| ………………………. 69

Додаток 5. Зразок титульної сторінки ……………………………… 71

1. Лінійна алгебра

1.1. Визначники. Обчислення|підрахунок| визначників

. Визначником 2-го порядку називається вираз вигляду:

.

Визначником 3-го порядку називається вираз вигляду:

.

Визначником 3-го порядку називається вираз вигляду:

.

Загальне|спільне| позначення елементу визначника , де номер рядка, номер стовпця, на перетині|пересіченні| яких він знаходяться|перебувають|.

Діагональ, що сполучає лівий верхній кут визначника з правим нижнім кутом називається головною, а діагональ, що сполучає правий верхній кут з лівим нижнім кутом – побічною діагоналлю.

. Обчислення|підрахунок| визначників.

1. Визначник другого порядку обчислюється за формулою

(1.1)

Приклад 1.1. Обчислити визначник .

Розв’язок. .

2. Обчислення|підрахунок| визначників 3-го порядку|ладу| виконуються за правилом Саррюса, за правилом трикутників або його розкладанням за елементами рядка (або стовпця).

При обчисленні визначника 3-го порядку за правилом Саррюса до нього приписуються два перші стовпці справа. Добутки елементів, що лежать на діагоналях, паралельних головній, беруться із знаком «», а елементів, що лежать на діагоналях, паралельних побічній – із|із| знаком «–».

Алгебраїчна сума всіх шести добутків|добутків| дорівнює визначникові.

(1.2)

Визначник 3-го порядку можна обчислити за правилом трикутників.

Добутки|добутки| елементів, розташованих|схильних| на головній діагоналі і у вершинах рівнобічних трикутників з|із| основами паралельними їй, беруться із|із| знаком «+», а елементів, розташованих|схильних| на побічній діагоналі і у вершинах рівнобічних трикутників з|із| основами паралельними їй, – із|із| знаком «–».

Приклад 1.2. Обчислити визначник

а) по правилу Саррюса; б) за правилом трикутників.

Розв’язок. а) Обчислимо визначник за правилом Саррюса:

.

б) Обчислимо визначник за правилом трикутників:

.

3. Розклад визначників за елементами будь-якого рядка (або стовпця).

а) Мінором елемента визначника го порядку , називається визначник -го порядку, який утворюється із даного визначника в результаті викреслювання -го рядка та -го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент .

б) Алгебраїчним доповненням елементу визначника називається його мінор, взятий із знаком , тобто:

.

в) Будь-який визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (або стовпця) на алгебраїчні доповнення цих елементів.

Наприклад, розклад визначника 3-го порядку|ладу| за елементами першого рядка має вигляд:|вид|

(1.3)

.

Приклад 1.3. Обчислити визначник розкладанням за елементами

рядка: .

Розв’язок. Розкладемо визначник за елементами першого рядка:

.