Для реальных:

(5)

i – безразмерная константа

- для одноатомных газов

- для многоатомных

v – средняя скорость перемещения молекул

ρ – плотность.

Теплопроводность однородной плоской стенки

δ – толщина стенки. Пусть t₁ и t₂ = const. Температурное поле однородное и меняется в направлении х. На основании (3) для бесконечно тонкого слоя стенки dx взятого на расстоянии х от поверхности:

или отсюда:

⁽⁶⁾

^{Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий при х = 0: С = t}₁^{; при х = δ: С = t}₂^.

⁽⁷⁾

^{отсюда: (8)}

^{Δt = t}₁^-t₂ ^{– называется температурным напором;}

_{– называется тепловой проводимостью стенки, показывающей какое} количество тепла проводит 1 м² за единицу времени при Δt = 1º.

– обратная величина называется термическим сопротивлением.

Если в (6) подставить С = t, то с учетом (8) получим уравнение температурной кривой:

(9)

Уравнение показывает, что при λ = const температура изменяется по закону прямой. В действительности λ зависит от t, поэтому температура изменяется по кривой.

Так как , а Q = qF, то количество тепла, переданное через плоскую стенку в течение времени будет:

, ^{Вт (10)}

Теплопроводность многослойной стенки

Известны δ₁, δ₂, δ₃; λ₁, λ₂, λ₃;

t₂ и t₃ – неизвестны; q = const.

На основании (8) для каждого слоя запишем:

Из этих выражений нахо­дим изменение температур в каждом слое и, складывая их, получим величину температурного напора: t₁– t₄ = Δt, т.е.

(11)

отсюда:

По аналогии для n-слойной стенки:

(12)

т.е. общее сопротивление многослойной стенки равно сумме частных термических сопротивлений.

Теплопроводность однослойной цилиндрической стенки

Стенка однородная, длиной ℓ;

t₁ и t₂ = const и

t₁ > t₂. Температурное поле однородное, т.е. меняется только в радиальном направлении. Выделим кольцевой слой с радиусом «r» и толщиной «dr», тогда по закону Фурье:

(15)

«-» потому, что dt – отрицательно, а

Q – положительно.

^{Из (15)} интегрируем:

(16)

Из граничных условий при r = r₁; t = t₁

и при r = r₂; t = t₂

(17)

(18)

Вычтем из (17) (18) получим Δt:

(19)

₍₂₀₎

^{Это для случая, когда t}₁^{< t}₂ ^{– температурный поток направлен внутрь.}

^{Плотность теплового потока может быть отнесена к единице внутренней поверхности (q}₁^{) и наружной поверхности (q}₂^{) или к 1 п.м. (практически) (q}_ℓ^).

₍₂₂₎

_{с учетом (20):}

^{Соотношения между q}₁^{, q}₂ ^{и q}_ℓ ^{получают из} равенства:

или откуда:

⁽²³⁾

q_ℓ - называется линейной плотностью теплового потока.

Теплопроводность многослойной цилиндрической стенки

t₁ и t₄ – известны; t₂ и t₃ = ? Из формулы(22)

для первого слоя: ;

для второго слоя:

для третьего слоя:

Из этих выражений изменение температуры в каждом слое:

⁽²⁴⁾

^{Складывая эти равенства найдем температурный напор:}

Отсюда линейная плотность теплового потока:

₍₂₅₎

^{Аналогично для n-слойной стенки:}

₍₂₆₎

^t₂ ^{и t}₃ ^{–находим из (24):}

(27)