Оптическое преобразование Фурье
Спектрометр
– анализатор частот Анализатор длин
волн
На призму с дисперсией падает Когерентная волна падает
волна с зависимостью на плоский транспарант с
от
времени
.
коэффициентом пропускания
.
Преобразование призмой: Преобразование линзой:
время → частота, координата → волновое число,
,
,
– распределение амплитуд
– распределение амплитуд
по углам и частотам. в фокальной плоскости
,
,
Теоремы Фурье
Линейность преобразования
.
(1.5)
Масштабное преобразование аргумента функции
.
(1.6)
Доказательство: Из (1.1)
.
Функция Гаусса
,
.
При
масштабном преобразовании
с
– сжатие по x
в 2 раза (переход от сплошной линии к
пунктирной), растяжение по k
и уменьшение амплитуды в 2 раза.
Инверсия аргумента
Из
(1.6) при
.
(1.7)
Четности функции и образа совпадают.
Теорема о частотной полосе
,
(1.8)
где дисперсии
;
.
Уменьшение
пространственной протяженности функции
приводит к увеличению ее частотной
протяженности
,
и наоборот.
Равенство в (1.8) выполняется для функции Гаусса
,
,
,
,
.
Смещение аргумента
.
(1.9)
Доказательство: Из (1.1)
.
Фазовый сдвиг
.
(1.10)
Доказательство: Из (1.1)
.
Комплексное сопряжение
,
(1.11)
Доказательство: Из (1.1)
,
.
Из (1.7) и (1.11)
,
получаем:
если – вещественная и четная, то вещественная;
если – вещественная и нечетная, то мнимая;
если – мнимая и четная, то мнимая;
если – мнимая и нечетная, то вещественная.
Теорема Парсеваля
.
(1.14)
В физике выражает закон сохранения энергии и вероятности при преобразовании Фурье.
Доказательство: Из (1.2) и (1.1) с заменой порядка интегрирований
=
.
Обобщенная теорема Парсеваля
.
(1.15)
Ортонормированность базиса и его образа
Если функции ортонормированны
,
(1.16)
то их фурье-образы также ортонормированны
.
(1.17)
В
(1.14) полагаем
и
.
Интегральная теорема – прямое и обратное преобразования восстанавливают непрерывную функцию
,
.
(1.20)
Доказательство: Из (1.2) и (1.1) с заменой порядка интегрирований
,
где использовано
.
Следовательно, для непрерывной функции
,
.
(1.20а)
Теорема
о парах функций
и
Если
,
то
.
(1.21)
Доказательство:
Используем (1.1), заменяем аргумент
.
Сравниваем
с (1.2) после замены:
,
,
и получаем (1.21).