Типовые (линейные) динамические звенья и их характеристики.
Звено - фактически математическая модель элемента, следовательно, элементы, имеющие общие по виду математические модели составляют один класс звеньев. В общем виде звено обычно описывается математической моделью
, (*)
v – вход, y – выход, ai ,bi - const, D – оператор дифференцирования. Среди всех звеньев выделяют наиболее простые (типовые) звенья. Типовые звенья – звенья, описываемые уравнениями не выше 2-го порядка, n≤2 (фактически и m≤2), n – порядок звена.
1. Усилительное (безинерционное) звено
а) уравнения и передаточные функции
Это статическое звено, описываемое
алгебраическим уравнением звена
,
причем a0>0, b0>0 . Разделив уравнение на a0 , получаем уравнение
Получение стандартной формы:
,
которое записывают как
y(t)=kv(t),
где k =
- коэффициент усиления звена. Последнее
выражение называют стандартной формой
записи уравнения усилительного
звена. В общем случае входные и выходные
величины имеют различную физическую
природу, следовательно, нельзя определенно
сказать усиливает звено входную величину
или нет, но все равно постоянную k
называют коэффициентом усиления.
Усилительное звено не инвертирует
входной сигнал: k>0.
Уравнение звена в изображениях:
Y(p)=kV(p).
По определению
W(p)=Y(p)/V(p)=k, [k=const].
б) временные характеристики звена
Весовая функция w(t)
– оригинал ПФ:
.
В данном случае
- дельта-функция интенсивностью k.
Рис. 1
Иначе интенсивность – площадь,
соответствующая функции
:
Переходная характеристика определяется выражением
.
Как видим, величина ступеньки увеличивается
в k раз. Статическое звено
не изменяет форму входного сигнала, а
лишь изменяет его масштаб, без инерции
воспроизводит на выходе все изменения
входного сигнала.
Рис. 2
в) частотные характеристики
По определению АФХ . Следовательно, для данного звена W(jw)=k – точка, расположенная на вещественной оси комплексной плоскости;
R(w)=U(w)=k, V(0)=0, (w)=0 – сдвиг фазы не вносится.
ЛАЧХ данного звена: L(w)=20lgR(w)=20lgk.
L
k>1
lgw
0
20lgk
Рис. 3
2. Дифференцирующее звено.
Дифференцирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением
. (6)
Его передаточная функция имеет вид
. (7)
Примером дифференцирующего звена часто может служить тахогенератор постоянного тока. Переходная характеристика дифференцирующего звена определяется выражением
и имеет вид -функции с интенсивностью k (рис. 4).
Весовая функция (рис. 5) представляет собой «дуплет» -функции
(8)
Рассмотрим теперь частотные характеристики звена. Амплитудно-фазовая характеристика
совпадает с положительной мнимой полуосью комплексной плоскости; Вещественная частотная характеристика равна нулю, U(w)=0; мнимая частотная характеристика соответствует выражению
V(w)=kw,
т.е. представляет собой линейно нарастающую функцию. С ней совпадает амплитудная частотная характеристика, которая имеет вид
.
Фазовую частотную характеристику можно определить по соотношению
.
Следовательно, на всех частотах имеется постоянный фазовый сдвиг.
Логарифмическая частотная характеристика следующая:
L(w)=20lgkw=20lgk + 20lgw. (9)
Как видно из графика рис. 6, дифференцирующее звено усиливает высокочастотные сигналы.