Схема Бернулли

Формула Бернулли

Пусть производится несколько испытаний, в результате которых может появиться некоторое событие  с определенной вероятностью.  Определение 27. Если вероятность события  в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события . Предположим, что в одинаковых условиях проводятся n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  равна . Нужно найти вероятность того, в этих n испытаниях событие  произойдет m раз. Непосредственное применение теорем сложения и умножения вероятностей для поставленной задачи с увеличением числа испытаний приводит к очень громоздким вычислениям. Необходимо применение других способов. Обозначим события ={событие  произошло в -ом испытании}, где i=1,2,...,n. , тогда . Событие  в n независимых испытаниях может появится ровно m раз в разных комбинациях, например,  и так далее, таких комбинаций . По условию, испытания независимые, поэтому события, входящие в комбинации, тоже независимые, следовательно, . Так как все комбинации, подобные комбинации , являются несовместными событиями и не важно, в какой последовательности появляется событие  и в какой событие , то по теореме сложения вероятностей для несовместных событий:

 (23)

Данная формула называется формулой Бернулли. Она имеет важное значение в теории вероятностей, так как она связана с повторением испытаний в одинаковых условиях, в которых как раз и проявляются законы теории вероятностей. Так как события, состоящие в различном числе появлений события  в серии из n испытаний, несовместны и образуют полную группу, то 

 (24)

Пример 30. Вероятность изготовления на станке стандартной детали равна 0,9. Найти вероятность того, что  из 6 наудачу взятых деталей 4 будут стандартными. Решение. Так как извлечение деталей - это независимые испытания, то вероятность того, что из 6 извлеченных деталей 4 стандартные, надо вычислять по формуле (23): . Определение 28. Наивероятнейшим числом  появления события  в  независимых испытаниях называется число, для которого вероятность  не меньше вероятностей каждого из остальных возможных исходов испытаний. Данное число  удовлетворяет следующим условиям:

(25)

Длина интервала, определяемого этими неравенствами равна: . Если границы этого интервала дробные числа , то для  получаем одно значение:

(26)

где - целая часть числа . Если границы интервала - целые числа, то для  получаем два значения (концы интервала):

 (27)

Пример 31. Вероятность поражения самолета равна . Найти наиболее вероятное число пораженных самолетов в группе из 13 бомбардировщиков, если самолеты поражаются независимо друг от друга. Решение. Число испытаний - это число самолетов,так как , то для  получаем два значения:  и . Вопрос. При данном технологическом процессе 85% продукции - высшего сорта.  Наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 150 изделий равно.

150

127

128

100

Формула Пуассона

В приложениях часто приходится вычислять вероятности различных событий, связанных с числом успехов в  испытаниях схемы Бернулли при больших значениях . В этом случае по формуле Бернулли  вычисления становятся затруднительными. Затруднения при вычислениях возникают и в случае малых значений  и . Если число независимых испытаний велико, то есть , а вероятность появления некоторого события  в отдельном испытании мала, то есть , но так, что , то вероятность того, что  в  независимых испытаниях событие  появится  раз вычисляется по формуле Пуассона:

 (28)

Пример32.Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того,  что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию. Решение. Согласно условию , то есть число испытаний велико, а вероятность появления  события( звонок абонента) в отдельном испытании мала, тогда . В соответствии с формулой (28) находим: . Если мало , то есть вероятность непоявления события  в отдельном испытании, то формулу Пуассона можно использовать для вычисления вероятности того, что в  независимых испытаниях событие  не появилось  раз. Вопрос. Если число независимых испытаний равно 10, то вероятность того, что событие произошло 4 раза,  надо вычислять по формуле Пуассона.

неверно

верно

Локальная формула Лапласа Пусть проводится  независимых испытаний, причем , вероятность появления некоторого события 

 в отдельном испытании постоянна и равна , , то есть и , и  заметно отличны от нуля, тогда вероятность того, что событие  появится  раз в  испытаниях вычисляется по локальной формуле Лапласа:

 (29)

где  (30)

 (31)

Формулу (29) чаще используют при  и . Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы (29), составлена таблица значений локальной функции Лапласа, которая имеется в справочном модуле. Пользуясь этой таблицей, нужно учитывать следующие свойства функции : 1.  - четная функция, то есть , поэтому в таблице приведены значения  только для ; 2.  монотонно убывает при ; 3. если , то можно считать, что , поэтому таблица приведена только до . Пример 33. Вероятность появления события  в одном из 400 независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что данное событие появится 80 раз. Решение. По условию, . Воспользуемся локальной формулой Лапласа. Сначала вычислим значение : , по таблице находим . Искомая вероятность . Вопрос. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Тогда вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 70 раз равна( округлить до тысячных).

0,049

0,047

0,04

0,048

Интегральная формула Лапласа

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна и равна . Вероятность того, что в этих испытаниях событие  появится от  до  раз, вычисляется по интегральной формуле Лапласа:

 (32)

где  (33)

 (34)

При решении задач, требующих применения формулы (32), пользуются таблицей для функции , эта функция называется функцией Лапласа. Таблица значений функции Лапласа приведена в справочном модуле. При использовании таблицы надо учитывать следующие свойства данной функции: 1. функция Лапласа нечетная, то есть , поэтому в таблице приведены значения только для ; 2. функция Лапласа монотонно возрастает при ; 3. при  можно считать , что , поэтому таблица приведена только до . Пример 34. Вероятность того, что деталь не прошла проверку, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей, не прошедших проверку окажется от 70 до 100 деталей. Решение. По условию, . Воспользуемся интегральной формулой Лапласа, сначала вычислим значения : , . По таблице находим: . Тогда искомая вероятность . Вопрос. Если , то .

верно

неверно