Глава 6. Нагруженность машин для земляных работ

6.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НАГРУЗОК

В общем случае внешние нагрузки, воздействующие на машину, можно разделить на постоянные, не изменяющиеся во вре­мени, и переменные, являющиеся функцией времени. К постоян­ным относят обычно нагрузки от веса элементов конструкции. Все другие виды нагрузок в машинах для земляных работ, как правило, являются переменными.

По характеру воздействия внешние нагрузки, испытываемые элементами конструкции машин, могут быть разделены на ста­тические и динамические. К статическим нагрузкам относят по­стоянные или медленно изменяющиеся нагрузки, воздействующие на элементы конструкции плавно и не вызывающие в них сколько-нибудь существенных дополнительных напряжений вследствие колебаний. К динамическим нагрузкам относят такие переменные нагрузки, которые вызывают колебания элементов конструкций и дополнительные в них напряжения.

В большинстве своем основные нагрузки для элементов кон­струкции этих машин, предопределяющие их работоспособность и долговечность, в процессе эксплуатации это переменные дина­мические нагрузки, являющиеся обычно весьма сложными и, как правило, в общем виде случайными функциями времени.

На рис. 6.1—6.6 приведен ряд кривых, характеризующих изменение во времени давления и нагрузки на рабочих органах и в элементах конструкции в процессе эксплуатации основных видов машин для земляных работ. Анализ режимов нагружения машин, в первую очередь, обычно связывают с решением задач, возникающих при обеспечении прочности и надежности их эле-

Рис. 6.1. Изменение давления ρ в гидроцилиндрах привода рабочего оборудова­ния обратной лопаты с ковшом 1 м³ при разработке легких грунтов II категории:

p_{c. ш}, Р_р.ш, P_к·ш· P_{c. п}· P_p.П ·Р_κ·П— Давление в штоковых (ш) и поршневых (п) поло­стях гидроцилиндров стрелы (с), рукояти (р) и ковша (к)

ментов конструкции. Однако учет режимов нагружения при созда­нии этих машин очень важен также при выборе и обосновании их привода, обеспечении требуемых эргономических показателей для работы операторов, решении задач по их автоматизации. Опыт создания и обеспечения высоких качественных показате­лей этих машин показывает, что при их создании приходится особое внимание уделять решению вопросов, связанных с их дина­мической нагруженностью и выявлением путей ее уменьшения.

6.2. ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ

Динамические усилия, возникающие в машинах, яв­ляются результатом совместного воздействия динамики внешней нагрузки, динамики элементов конструкции и динамики материа­лов. Под динамикой внешней нагрузки в машинах понимается закон изменения внешних усилий во времени, воздействующих на элементы конструкции машины, от взаимодействия их рабочих органов с грунтом и движителей с дорогой, а также от привода и ветра.

Под динамикой элементов конструкции понимается разница в восприятии ими статических и динамических внешних нагрузок, обусловленная их упругостью, инерционностью и демпфирующей способностью. Принципиальное отличие в восприятии элементами конструкции машин статических и динамических внешних нагру­зок заключается в том, что при динамических нагрузках возни­кают упругие колебания элементов конструкции, в результате которых действительные усилия или напряжения в них будут отличаться от усилий или напряжений, вызванных статическим приложением той же нагрузки. Отношение действительных уси-

Рис. 6.2. Изменение усилий подъема S_П, напора S_H и напряжений σ_ρ изгиба в рукояти в канатных карьерных экскаваторах

при работе в тяжелых скальных грунтах:

α — копание экскаватором с ковшом вместимостью 8 м³, б — выравнивание порогов экскаватором с ковшом вместимостью 4 м³

Рис. 6.3. Изменение нагрузок на рабочем органе, в элементах привода и конструкций роторных экскаваторов:

а — для роторного поворотного эскаватора ЭРГ-400 при работе в грунте категории III, б — для той же машины при разработке углей, в, г — для роторного траншейного экскаватора ЭР-7А при разработке грунтов категории III и упоре в препятствие, 1 — напряжение у пяты стрелы от изгиба в плоскости поворота, 2 — нагрузки в канате подвески стрелы, 3 — крутящий момент на валу привода ротора, ΣР_ρ, ΣР_Ή, ΣР_б — суммарная касательная, нормаль­ная ι боковая составляющие усилия копания, а_III— угловой шаг ковшей, Т — период основных колеба­ний нагрузки, M _дmax и М _max — максимальные дина­мический момент и момент, передаваемый предо­хранительной муфтой

Рис. 6.4. Изменение нагрузок на рабочем органе:

о — для бульдозера при работе в средних грунтах; б — для рыхлителя на тракторе Т-130 при разра­ботке мерзлых грунтов

Рис.6.5. Изменение ускорений передней секции самоходного скрепера с ковшом вместимостью 25 м³ (х₁) и корпyca подрессорен (х₂) ной кабины (х₂) при движении по дороге с микропрофилем q (t) со средней квадратической неровностью σ_q = 5 см при ско­рости 36 км/ч

Рис. 6.6. Изменение ветровой нагрузки при средней скорости ветров:

α — u = 21 м/с, б — о = 19 м/о

лий или напряжений к статическим принято называть коэффи­циентом динамичности конструкции.

Под динамикой материала понимается разница в механических характеристиках, отличающих поведение одного и того же мате­риала при статических и динамических напряжениях.

При анализе динамических нагрузок в машинах целесообразно рассмотреть, в основном, динамику их внешних нагрузок и эле­ментов конструкции, которые в ряде случаев взаимосвязаны и взаимно влияют. Что касается динамики конструкционных ма­териалов, то она не является специфической для этих машин, так как при изготовлении их применяются обычные для машин кон­струкционные материалы, динамические свойства которых можно найти в справочной литературе.

Следовательно, при решении задач динамики машин для зем­ляных работ необходимо проанализировать их конструкции как упругие динамические системы, находящиеся под воздействием внешних нагрузок, которые изменяются во времени.

Первые исследования по динамике машин для земляных работ с учетом колебания их конструкций были проведены в 1948— 1950 гг. в МИСИ и ВНИИСтройдормаше [7]. В дальнейшем работы в этом направлении получили широкое развитие и были обобщены в ряде основополагающих монографий [7—11, 13, 22, 33, 35], результаты которых в основном были учтены при изло­жении в данной главе.

6.2.1. Характер изменения внешних нагрузок

Характер изменения во времени внешних нагрузок в этих машинах в первую очередь определяется взаимодействием их рабочих органов и движителей с грунтом или дорогой, а также характеристиками применяемых привода и систем управления рабочих органов и движителей.

Наибольшие динамические нагрузки в элементах конструкции машин могут возникать, как правило, в процессе разгонов и тор­можений рабочих органов и движителей, возможного стопорения их при упоре в непреодолимые препятствия, а также возникнове­ния колебаний резонансного характера, когда частоты колебаний внешних нагрузок могут совпадать или быть близкими к частотам собственных колебаний элементов конструкции.

Так как основные вопросы взаимодействия рабочих органов машин с грунтом, механические характеристики привода и со­противления на движителях рассмотрены в гл. 3, 4 и 5, здесь будут рассмотрены дополнительно специфические вопросы, ха­рактеристики внешних нагрузок, позволяющие анализировать колебания и оценивать динамическую нагруженность элементов конструкций в указанных режимах.

Приближенный характер изменения внешних нагрузок при раз­гоне, торможении и стопорении рабочих органов и движителей. Для оценки динамических нагрузок, появляющихся в механизмах привода и элементах конструкции при разгоне, торможении и стопорении рабочих органов и движителей, ввиду их сравнитель­ной непродолжительности, как показывает анализ и эксперимент в большинстве случаев, возможно пренебречь сложным изменением внешних нагрузок и представить их осредненными значениями.

На рис. 6.7 показаны основные характерные случаи прибли­женного изменения внешних нагрузок M = f (t_{ρ (T)}), встреча­ющихся во время разгона t_ρ и торможения t_T механизмов привода в машинах для земляных работ. Кривые M = f (t_{p (т)}) (рис. 6.7, а) в наибольшей степени могут отвечать изменению движущей или тормозной нагрузке, обеспечиваемой приводами при различных системах их управления и M >> М_с, что наиболее близко соответ­ствует, например, работе механизма привода поворота экскава­тора с оптимальной характеристикой. За время плавного нараста­ния от 0 до t₀ движущая или тормозная нагрузка в зависимости от системы управления двигателями, муфтами и тормозами при­вода может изменяться от 0 до М_тax по законам /—IV:

M_I = M_max t/t₀; M_{I I} = M_maxsinp/2 t/t₀;

M_III =M_max /2 (l-cos π t/t₀); M_IV = M_max(l-e^-Rt). (6.1)

Изменение внешней нагрузки со стороны привода при t > t₀ < < t_{p (T)} в виде M = M_max = const, дающее минимальное время

Рис. 6.7. Характерные случаи приближенного изменения внешних нагрузок при разгоне и торможении механизмов привода:

M — движущая или тормозная нагрузка; M_с — внешнее сопротивление

разгона или торможения, наилучшим образом обеспечивается фрикционными муфтами и тормозами, гидроприводом и электро­приводом по системе Г—Д с ЭМУ или с МУ. Изменение движущей или тормозной нагрузки при ί > t₀ по кривой V в наибольшей степени соответствует электроприводу по системе ТГ—Д.

На рис. 6.7, б показан наиболее характерный случай измене­ния во времени движущей или тормозной нагрузки и внешних сопротивлений, который имеет место тогда, когда время разгона или торможения мало и избыточная движущая или тормозная нагрузка может быть описана полуволной синусоиды.

На рис. 6.7, в показаны случаи наиболее характерного изме­нения движущей или тормозной нагрузки, когда избыточная нагрузка невелика в сравнении с внешними сопротивлениями. При этом кривая / может обеспечиваться механизмами с приво­дами от фрикционных муфт и тормозов, гидроприводом и электро­приводом постоянного тока. Ступенчатая кривая // имеет место для механизмов с приводом от асинхронных электродвигателей переменного тока.

Для оценки влияния внешних нагрузок от привода на динами­ческие нагрузки, возникающие при стопорении рабочего органа или движителей, можно воспользоваться характеристиками (рис. 6.8), приближенно описывающими изменение избыточной движущей нагрузки М = f (t_CT) от основных типов приводов при стопорении. Прямая 3 (M_max = const) наиболее характерна приводам механизмов от фрикционных муфт, когда они проскаль­зывают при перегрузках, и механизмам с гидроприводом с насо­сами постоянной подачи. Характеристика 5 [полуволна сину­соиды М = Mmax sin (π t/t_CT) ] достаточно отражает изменение дви­жущей нагрузки при стопорении дизеля; характеристика 4 [чет-

верти волны синусоиды M = Mmax sin (π t/2t_ст) ] — изменение дви­жущей нагрузки при стопорении электродвигателей; характери­стике 1 — работа привода от дизеля с гидротрансформатором. При стопорении приводов от регулируемых гидромоторов или с насосами переменной подачи движущее усилие может быть описано ломаной характеристикой ОАВ, обозначенной цифрой 2.

Нагрузки периодического характера. Внешние нагрузки пери­одического характера в машинах для земляных работ могут иметь место как при взаимодействии рабочих органов и движителей с грунтом, так и передаваться от элементов привода. В процессе образования стружки при резании грунтов в результате происхо­дящих сколов имеет место колебание сил резания (см. рис. 3.6). В общем случае эти колебания чаще всего носят случайный харак­тер. Однако в процессе резания достаточно однородных грунтов при постоянной толщине стружки и скоростях резания эти коле­бания имеют характер, близкий к периодическому с определенной средней частотой и амплитудой. При этом частота колебания сил резания будет определяться, в основном, толщиной стружки и скоростью резания, а амплитуда для конкретного рабочего ор­гана — прочностью грунтов. При разработке легких грунтов амплитуды колебаний сил резания, как правило, несущественны; при разработке же тяжелых каменистых пород и мерзлых грунтов (см. рис. 6.4, б) они могут достигать значительной величины и даже приближаться к среднему значению усилий резания. По­этому, например, для рыхлителей мерзлых грунтов и твердых пород, бурильных машин вращательного действия эти колебания сил резания могут приводить к значительным дополнительным колебаниям их элементов конструкции и напряжениям.

Рис. 6.8. Характерные случаи прибли­женного изменения внешней нагрузки от привода в процессе стопорения ме­ханизмов

Значительные колебания сил сопротивления грунтов копанию периодического характера имеют место в землеройных машинах непрерывного действия, особенно в экскаваторах непрерывного действия. Эти колебания, в первую очередь, связаны с периодич­ностью входа и выхода ковшей из забоя (см. рис. 6.3). Прибли­женный характер изменения крутящего момента M и си­лы P на валу привода ротора показан на рис. 6.9, где а_ш — угловой шаг расстановки ков­шей на роторе и период T изменения нагрузки, связан­ной с периодичностью входа и выхода ковшей из · забоя. Штриховой линией на этом рисунке показано изменение нагрузки с учетом скола грун­та при выходе ковша из за­боя. Время t₂ обычно колеблется

Рис. 6.9. Приближенный характер периодического изменения внешних нагрузок на валу ротора

в пределах t₂ = (0,1— 0,4) Т. Величина периода T (с), соответ­ствующая времени поворота ковша на угловой шаг а_ш, опре­деляется как

T = 60/nz (6.2)

где n — частота вращения ротора, мин^-1; z — число ковшей на роторе.

Коэффициент динамичности внешней нагрузки

K_ДВ=2М_mах /(M_max +M_min )=2P_mах /(P_max +P_min ) (6.3).

Значения его колеблются в пределах от 1,1—1,2 при разра­ботке легких грунтов до 1,5—1,9 при разработке тяжелых пород, мерзлых грунтов и углей.

Уменьшить К_дв при разработке тяжелых пород и мерзлых грунтов можно путем увеличения числа ковшей на роторе, уста­новки дополнительных режущих периметров между ковшами и изменения формы зубьев и режущих периметров. Внешние на­грузки M и P, показанные на рис. 6.9 сплошными линиями, для расчета динамических нагрузок элементов конструкции могут быть разложены в ряд Фурье в виде

(6.4)

где θ = 2π/Τ = πzn/30 — круговая частота периодического изме­нения внешней нагрузки.

Аналогично выводится зависимость и для P. При изменении нагрузок по штриховой кривой амплитуда гармонических составляющих в формуле (6.4) будет определяться выражением

(6.5)

где а =θt₂.

Число членов ряда, обеспечивающих приемлемую точность аппроксимации внешней нагрузки на роторном колесе, обычно не превышает R = 3—4.

При анализе характера внешних нагрузок на роторном колесе, фрезе или других подобных рабочих органах непрерывного дей­ствия следует также иметь в виду, что периодическое изменение сопротивлений грунта копанию и соответственно нагрузок на оси ротора, фрезы и т. п. может происходить также вследствие экс­центричного расположения режущих периметров ковшей или зубьев фрез и торцового биения всего ротора или фрезы из-за неточности их изготовления и монтажа, а также неравномерности изнашивания режущих кромок. Такие колебания внешних на­грузок чаще всего происходят с периодами, равными времени оборота рабочего органа T₀ = 60/n и 0,5T₀.

При использовании в машинах для земляных работ рабочих органов вибрационного, виброударного и ударного действия как для разработки, так и уплотнения грунтов значение и характер периодических нагрузок, воздействующих на машину, опреде­ляются параметрами вибровозбудителей или устанавливаемых механизмов ударного действия.

Кроме указанных внешних нагрузок периодического харак­тера при работе машин возникают также дополнительные нагрузки на элементы конструкции вибрационного характера, связанные с работой двигателей внутреннего сгорания, электро- и гидродви­гателей, зубчатых и цепных передач и. других элементов привода, которые не оказывают, как правило, сколько-нибудь существен­ного влияния на долговечность других элементов конструкций машин, но могут приводить к недопустимым вибрациям и шуму на рабочем месте оператора и недопустимому шуму машины на строительной площадке. Поэтому анализ основных источников вибраций и шума и выявление способов их уменьшения также представляют одну из важнейших задач динамики машин.

Внешние нагрузки на движителях машин. Внешние нагрузки в машине, возникающие при взаимодействии гусеничных движи­телей с грунтом, вследствие сравнительно малых скоростей движе­ния при нормальной работе обычно изменяются достаточно плавно. При передвижении гусеничных машин проявляется периодиче­ский характер изменения внешних сопротивлений, связанный с временем перекатывания машины на длину одного гусеничного звена. Период изменения сопротивлений перекатыванию опреде­ляется зависимостью

To = l/ν, (6.6)

где l — длина гусеничного звена; ν — скорость машины.

Значения T₀ для легких гусеничных машин колеблются в пре­делах 0,2—1,0 с, для тяжелых экскаваторов в пределах 3—10 с. Амплитуда колебания сопротивлений увеличивается при пере­движении по легким сыпучим грунтам, имеющим большую про-

садку. Вследствие достаточно низкой частоты колебаний этих нагрузок сколько-нибудь существенного дополнительного дина­мического воздействия на механизмы привода передвижения они, как правило, не вызывают.

Наибольший интерес с точки зрения динамического воздей­ствия внешних нагрузок со стороны движителей на конструкции машин и их операторов представляет рассмотрение процесса передвижения землеройно-транспортных машин на пневмоколес-ном ходу в транспортных режимах. Вследствие кинематического воздействия от неровностей микропрофиля дороги q (t) на колеса (см. рис. 6.5) возникают колебания машин и динамические на­грузки на ее элементы. Эти колебания передаются на оператора, снижают его работоспособность и приводят к уменьшению ско­рости движения и производительности машин.

Наиболее распространенным методом расчета колебаний ма­шин от взаимодействия ее колес с дорогой является метод стати­ческой динамики. При его применении микропрофиль дороги рассматривается как реализация некоторого стационарного слу­чайного процесса с характеристиками:

1. дисперсия D_q или среднее квадратическое отклонение σ_q высоты микропрофиля:

2. вид нормированной автокорреляционной функции ρ_q (/) или соответствующее ее преобразование, определяемое функцией спектральной плотности S_q (ω).

Анализ микропрофилей дорог различных типов показывает, что их средняя квадратическая высота σ_q неровности изменяется от 0,8—1,2 до 9—12 см при переходе от улучшенных автомобиль­ных дорог с твердым покрытием к условиям тяжелых разбитых проселочных дорог.

Для временных скреперных, периодически улучшаемых грей­дером грунтовых дорог σ_q = 4—5 см.

Автокорреляционная функция обычно достаточно хорошо аппроксимируется в виде [24]

ρ_q (l) = а₁e^-a1|l| + а₂е^-a2|l| cos β'l. (6.7)

Соответствующая ей функция спектральной плотности

⁽⁶·⁸⁾

где ν — скорость движения; α₁ — показатель экспоненты, изме­няется в широких пределах 0,08—0.4, а для скреперных дорог — в пределах 0,12—0,16; l — длина отрезка обследованной до­роги, м.

Если учесть, что периодическая составляющая в большинстве случаев может отсутствовать, то можно принять a₁ = 1 и а₂ = О и зависимости (6.7) и (6.8) примут простой вид.

6.2.2. Определение общих параметров упругих динамических систем

Для составления расчетных схем машин для земляных работ и их узлов как упругих динамических систем необходимо определять жесткость (или податливость) основных упругих эле­ментов, сосредоточенные или распределенные массы основных механизмов привода и элементов конструкции, их моменты инерции и приведенные значения, а также демпфирующую способность отдельных элементов системы. Для учета влияния зазоров в ме­ханизмах необходимо также определять их приведенные значения.

При составлении расчетных схем их основные параметры мо­гут быть выражены как в линейных единицах измерения (масса, линейная жесткость, сила), так и в круговых единицах (момент инерции, круговая жесткость, крутящий момент).

Массы и моменты инерции. Массы и моменты инерции отдель­ных деталей и узлов машин определяют по общепринятому закону механики. Однако очень часто для их расчетов можно воспользо­ваться простыми приближенными зависимостями.

Например, момент инерции вращающихся деталей относи­тельно оси вращения можно определить, обозначив их массу через т и наружный диаметр через D как

J = mD²/R, (6.9)

где значения коэффициента R составляют:

для сплошных валов или осей 8

для блоков, звездочек, зубчатых и червячных колес, шкивов ленточных муфт

и тормозов 7

для дисковых, зубчатых, кулачковых и упруго-втулочных муфт 9

для барабанов 6

Момент инерции стрел, рукоятей, консолей относительно оси вращения поворотной платформы в экскаваторах, при незначи­тельном изменении их массы по длине, может определятся как

J ~ m (R² + Rr + r²)/3, (6.10)

где т — масса стрелы или рукояти; r, R — расстояния от оси вращения до концов стрелы, рукояти или консоли.

Суммарные приведенные значения масс и моментов инерции механизмов привода с жесткой кинематической связью, движу­щиеся с различными скоростями, определятся как

m=m₁/i₁²+m₂/i₂²+m₃/i₃²...;

J = J₁/i₁² +J₂/i₂² +J₃/i₃² + ..., (6.11)

где m₁ m₂, m₃, ..., J₁ ,J₂, J₃,... — приводимые массы и моменты инерции; i_l i₂, i₃, ... — отношения скорости оси или точки при­ведения к скоростям приводимых масс или моментов инерции.

В кинематических цепях и конструкциях машин, когда удоб­нее рассчитывать отдельно массы поступательно движущихся элементов и моменты инерции вращающихся элементов, приведен­ные значения масс и моментов инерции определятся как

(6.12)

где R — расстояние от оси приведения до точки приведения масс. Жесткости. Основными податливыми элементами, жесткость которых приходится учитывать в первую очередь при динамиче­ских расчетах машин, являются канаты, валы и соединительные упругие муфты механизмов привода, рабочие жидкости в системах гидроцилиндров, элементы конструкции рабочего оборудования, наиболее податливые элементы несущих конструкций (двуногих стоек, пилонов, надстроек и т. п.), пневмоколеса и упругие под­вески в ходовом оборудовании, грунт при взаимодействии его с рабочими органами и движителями. Крутильную жесткость валов привода переменного сечения, имеющего шлицы и шпонки, с достаточной точностью можно определять по участкам

с_у = 3,14Gd⁴/(32lR₁), (6.13)

где G — модуль упругости материала вала при сдвиге; d, l — диаметр и длина участка вала; R₁ — коэффициент, учитывающий ослабление вала.

Для сплошного вала R₁ = 1, для полого цилиндрического участка при внутреннем диаметре d₁ коэффициент R₁ = 1/(1 —

• d₁/d)⁴, для участка со шпоночными канавками R₁ = 1/(1 —

• 2nh/d), где n и h — число и высота паза. Для участков со шли­ цами значение d принимается по внутреннему диаметру шлицев при r₁ = 1.

Общая крутильная жесткость вала по всей длине

c=1/(1/C_y1+1/C_y2+1/C_y3 +...),

(6.14)

где c_y1, с_у2, с_y2, ... —жесткость отдельных участков.

При расчете крутильной податливости валов, имеющих боль­шие прогибы (например, для последних валов привода поворота экскаваторов), целесообразно вводить в расчет его приведенную крутильную жесткость, учитывающую податливость от прогиба:

с_ПР=1/(1/c+1/c_и.кр), (6.15)

где с — крутильная жесткость вала; с_и.кр — приведенная к кру­чению изгибная жесткость вала, определяемая через изгибную жесткость вала с_И и его радиус r: с_{И. кр} = с_иr².

С учетом дополнительной податливости опор с_KP, например для последних валов механизмов привода поворота экскаваторов, может составлять с_кр ~ (0,5—0,8) с.

Жесткости различных соединительных муфт в приводах опре­деляются обычно по их характеристикам на основе эксперимен­тальных данных.

Линейная жесткость канатов

с_л = Е_кР_к/1_к, (6.16)

где F_K и f_ш — площадь сечения всех проволок каната и его де­формируемая длина; Е_K— модуль упругости каната, опреде­ляется экспериментально с достаточной точностью.

При отсутствии экспериментальных данных для стальных ка­натов, применяемых в машинах для земляных работ, можно при­нимать: для канатов открытой конструкции E_K = 1,15*10⁵ МПа и для канатов закрытой конструкции E_K == 1,35· 10⁵ МПа.

Линейная жесткость канатных подвесок стрел, пилонов, про­тивовесов, состоящих из полиспастов и дополнительных оттяжек, определится как жесткость двух последовательных пружин:

С_ПЛ = C_ПC₀/(C_П + С₀), (6.17)

где с_п, с₀ — линейная жесткость полиспаста и оттяжек.

Линейная жесткость подвески ковша драглайна при колеба­ниях его как маятника при повороте [8]

с_к.л = G/l, (6.18)

где С — сила тяжести ковша; l — длина маятника подвески ковша.

При ковше, растянутом канатами подъема и тяги, в процессе поворота l == h/cos β, где h — расстояние от оси стрелы до центра тяжести ковша, а β — угол наклона стрелы к горизонту.

При расчете жесткости гидропривода рабочего оборудования этих машин следует иметь в виду, что основными элементами, обладающими наибольшей податливостью, является рабочая жид­кость в гидроцилиндрах. Модуль упругости рабочей жидкости, применяемой в гидроприводах, зависит от количества растворен­ного в ней воздуха, системы гидропривода и давления и лежит в пределах 1400—2000 МПа. Кроме того, необходимо учитывать также деформацию трубопроводов и находящейся в них жидкости, что будет несколько уменьшать расчетный модуль упругости.

Расчеты жесткости элементов металлоконструкций рабочего оборудования и несущих элементов конструкций ведутся как для балок, ферм, рам на основе известных методов сопротивления ма­териалов и строительной механики или определяются эксперимен­тально. Линейная жесткость шин пневмоколесных машин в верти­кальной плоскости в определенном диапазоне нагрузок может быть вычислена в первом приближении как для модели упругого звена через статический прогиб f_ш шины под номинальной на-

Л

Рис. 6 10. Схема внедрения ковша под действием напорного усилия Р₂ (а) и гра­фик (б) изменения жесткости условного грунта (п = 1) для ковшей вместимостью q = 0,25-8 м³

грузкой Q, т. е. с = Q/f_ш· Если прогиб шин f_ш не известен из паспортных данных, то его можно в первом приближении опре­делить как

f_nj = Q/(π p_ш (2RD)^-2), (6.19)

где Q — номинальная нагрузка на шину, Н; р_ш — давление в шине, МПа; R, D — радиус кривизны протектора и наружный диаметр шины, м.

При необходимости расчета боковых колебаний машин на пневмоколесном ходу и определения устойчивости их движения приходится рассматривать возможность «бокового увода» колес и анализировать в связи с этим боковую податливость шины [22]. При колебательных взаимодействиях рабочих органов и движи­телей с грунтом в ряде случаев в расчетах необходимо учитывать также упругие и демпфирующие свойства грунтов; могут быть использованы различные реологические модели грунта, учиты­вающие его упругие, вязкие и пластические свойства.

Учитывая упругие свойства, необходимо определять жесткость грунта. Вязкопластические свойства могут быть учтены коэффи­циентами демпфирования, которые, как правило, определяются на основе экспериментов.

Оценивая жесткость грунта в процессе взаимодействия рабо­чих органов с грунтом, можно в случае их стопорения воспользо­ваться в первом приближении следующими моделями.

На рис. 6.10, а показана примерная схема деформации грунта под действием на рабочий орган напорного усилия P₂ при заглуб­лении ковша. Сопротивление (Н) грунта вдавливанию режущей кромки

P₀₂ = 100FR cos β, (6.20)

где F — площадь смятия грунта, см²; для режущей кромки без зубьев F = АВb и для режущих кромок с зубьями F = АВп₁а (b, а — ширина режущей кромки соответственно ковша и зуба, см; n₁ — число зубьев); β — задний угол резания, °; R — предельная несущая способность грунта, МПа, выражена через число η ударов ударника ДорНИИ, R ~ 0,07n.

Выразив А В через приращение Δρ толщины стружки и под­ставив в выражение (6.20), имеем

P₀₂ = с_г. е Δρ, (6.21)

где с_г. _н— жесткость грунта в направлении напорного усилия, Н/см, с_г. _н = l00Rn₁a ctg β для режущих кромок с зубьями и с_г.H ⁼ 100Rb ctg β для режущих кромок без зубьев.

На рис. 6.10, б в качестве примера приведены графики, ха­рактеризующие изменение жесткости с'_г.н условного грунта (п = 1) при действии напорного усилия для ковшей одноковшо­вых экскаваторов, имеющих четыре зуба, шириной просвета между зубьями равной 2,5α. Реальное значение жесткости для различных грунтов будет с_г.н = с'_{г н}п.

В процессе внедрения ковша (см. рис. 6.10, а) с увеличе­нием Δρ и соответственно толщины h (см) стружки пропорцио­нально растет и касательное к траектории сопротивление грунта копанию (Н):

Р₀₁ = l00R₁bh, (6.22)

где R₁ — коэффициент сопротивления грунта копанию, МПа.

Для такого момента можно считать, что жесткость (Н/см) грунта в направлении P₀₁ определится как с_{г. р} = l00R₁b.

Для оценки возможного мгновенного увеличения усилий ко­пания, возникающих при встрече в грунте твердых препятствий в виде камней и т. п., рассмотрим изменение касательного сопро­тивления копанию на примере рис. 6.11.

В зависимости от точки приложения нагрузки от режущей кромки ковша или зуба (рис. 6.11, а) и размера камня последний может выдавливаться из грунта по траекториям, близким к траек­тории /, или двигаться вместе с ковшом по траекториям //—///. Очевидно, наибольшие нагрузки будут иметь место, если камень не выдавливается при встрече с ковшом. Тогда будут возникать наибольшие дополнительные сопротивления (кН), которые могут оцениваться как [8]

ΔP₀₁ = 0,014nD (D — h) + 0,105D²n, (6.23)

где D и h в см.

Из рис. 6.11, б видно, что вместимость ковша мало влияет на ΔP₀₁, которое в основном зависит от второго члена в фор­муле (6.23), определяемого сопротивлением грунта смятию. Сле­дует отметить, что оценка жесткости грунтов при нормальной работе рабочих органов машин как при разработке грунтов,

Рис. 6 11. Схема взаимодействия рабочего органа с твердыми каменистыми вклю­чениями (а) и график изменения дополнительного сопротивления ΔP₀₁ копанию в грунтах категории II (б) для ковшей:

1 — q = 0,25 м³. 2— Q = 2 м³

так и их уплотнении представляется весьма сложной и мало изученной проблемой.

Линейную жесткость отдельных элементов машин к круговой или круговую жесткость к линейной можно приводить, используя зависимость

с = C_ЛR², (6.24)

где с — круговая жесткость; с_л — линейная жесткость; R — расстояние от оси приведения до точки приведения.

Например, при приведении линейной жесткости каната к кру­говой жесткости относительно оси барабана, на который он нама­тывается, или, наоборот, круговой жесткости вала барабана к линейной жесткости по оси каната R = R_б (R_б — условный радиус барабана по центру каната). Круговые или линейные жесткости любого элемента кинематической цепи, приведенные к оси одного из валов механизма или к иной выбранной точке приведения, определяются идентично приведенным моментам инер­ции или массам как

с = с_i /i²_i (6.25)

где Cj — приводимые жесткости; i — отношение скорости оси или точки приведения к скоростям элементов, жесткости которых приводятся.

Приведенные жесткости последовательно расположенных эле­ментов суммируют как

,(6.26)

где c₁ с₂ ..., с_n — жесткости последовательно расположенных элементов.

Приведенные зазсфы. При расчете динамических нагрузок при разгонах и реверсированиях механизмов привода и рабочего обо­рудования в ряде случаев бывает необходимо оценить влияние зазоров в кинематических парах.

Суммарные приведенные круговые зазоры, выраженные в ра­дианах, могут быть определены как

δ = Δ₁i₁/R₁ + Δ₂i₂/R₂+...+Δ_ni_n/R_n , (6.27)

где Δ₁ Δ₂, ..., Δ_n — линейные зазоры в кинематических парах, мм; r₁ R₂, .... R_n — расстояния от осей вращения до мест расположения соответствующих зазоров; i₁ i₂, ..., i_n — отноше­ния скоростей оси приведения к скоростям осей вращения соот­ветствующих кинематических пар.

Демпфирующие сопротивления. Демпфирующие сопротивле­ния, приводящие к затуханию возникающих колебаний в машинах и снижению динамических нагрузок их элементов конструкции, зависят от потери энергии на внутреннее и внешнее трение в эле­ментах машины как динамической системы.

Динамические нагрузки в машинах для земляных работ на основе опыта исследований в большинстве случаев могут рассма­триваться как для систем с относительно небольшим трением. В этом случае независимо от характера сил трения возможен приближенный учет их демпфирующих свойств. В основу этого метода положен синусоидальный закон движения элементов дина­мической системы и действительное трение заменено эквивалент­ным, приведенным к синусоидальному закону движения. Благо­даря такому приему дифференциальные уравнения колебаний системы линеаризуются и получаются в обычной форме, где демп­фирующие сопротивления учитываются эквивалентным коэффи­циентом ν демпфирования, пропорциональным скоростям переме­щения масс или деформаций и нагрузок в упругих элементах. Значение ν может быть выражено через безразмерный коэффи­циент — декремент затухания колебаний, который для одномас-совой системы определяется как

ν = δρm/π, (6.28)

где δ — декремент затухания колебаний; ρ — круговая частота собственных колебаний системы, Гц; т — колеблющаяся масса.

Для крутильной системы вместо m подставляется момент J инерции вращающейся массы.

Выявление и обобщение законов изменения демпфирующих сопротивлений, определяющих затухание колебаний в основных Узлах машин, так же как и в других машинах, представляет значительные трудности и требует постановки специальных иссле­дований. Наиболее надежные результаты здесь могут быть полу­чены путем экспериментов, когда определяются декременты за-

Рис. 6.12. Изменение напряжения в раскосе стрелы роторного экскаватора при ее резонансном крутильном раскачивании и последующем затухании собственных колебаний

тухания собственных колебаний конструкций, предварительно подвергнутых деформации или специальному раскачиванию. По уменьшению амплитуд затухающих колебаний определяются средние значения δ.

На рис. 6.12 в качестве примера показана экспериментальная кривая напряжений в раскосе роторной стрелы при ее резонанс­ном крутильном раскачивании с последующим затуханием соб­ственных колебаний. Ориентировочные значения декрементов δ затухания колебаний в пределах упругих деформаций для не­которых узлов и элементов конструкций этих машин приведены ниже.

Отдельные детали при растяжении (сжатии) и изгибе 0,015—0,025

Валы механизмов привода рабочих органов и движителей при кру­ чении 0,04—0,06

Механизмы привода рабочего оборудования, движителей и т. п.

без учета взаимодействия их с грунтом 0,1—0,18

Элементы металлоконструкций — рабочее оборудование (стрелы, рукояти экскаваторов), консоли, надстройки, рамы при изгибных

и крутильных формах их собственных колебаний 0,05—0,08

Рабочее оборудование и консоли противовесов экскаваторов на подвесках по низшим формам колебаний без взаимодействия с грун­ том 0,1—0,15

Рабочее оборудование экскаваторов в плоскости поворота по низ­шей форме колебаний при заторможенном механизме поворота . . 0,25—0,4 Рабочее оборудование экскаваторов при вращении поворотной платформы, когда скорость колебаний меньше скорости поворота 0,05—0,08 Рабочие органы при низших формах колебаний от взаимодействия

их с грунтом 0,02—0,15

Пневмоколеса движителей, колеблющиеся на жестком основании 0,025—0,06 Пневмоколеса движителей от взаимодействия их с грунтом .... 0,01—0,05 Упругодемпферные подвески пневмоколесных движителей .... 0,15—0,25

Электропривод механизмов по системе Г—Д 0,05—0,3

Гидроцилиндры привода рабочих органов 0,15—0,3

Определение эквивалентного коэффициента θ демпфирования может быть проведено также исходя из условия равенства работ эквивалентного вязкого трения и трения произвольного вида за цикл колебаний

А_д = A_тр. (6.29)

Работа эквивалентного вязкого трения за цикл колебаний

где α — амплитуда колебаний массы, к которой приложено вязкое трение; ρ — круговая частота собственных колебаний системы. Тогда

О = A_тр/(π а² 8). (6.30)

6.2.3. Представление расчетных схем машин как упругих динамических систем и их математическое описание

Опыт исследования динамики машин для земляных работ показывает, что при расчете колебаний и оценке возникаю­щих динамических нагрузок основные узлы и машины в целом могут быть представлены в большинстве случаев в виде сосредо­точенных масс, связанных невесомыми упругими элементами и находящимися под действием внешних нагрузок. И лишь при более детальном анализе колебаний и динамических нагрузок, например, в стрелах и консолях противовесов мощных экскава­торов, имеющих большую длину, может быть необходимо пред­ставить их массы и жесткости с распределенными параметрами.

В расчетных схемах сосредоточенные массы обычно пред­ставляют в виде кружочков или квадратиков, обозначаемых в линейных системах через m_i и в крутильных через J_i а основные упругие элементы обозначаются в виде пружинок или линий соответственно с линейными или крутильными жесткостями c_i.

Демпфирующие сопротивления v_t обозначаются на схемах обычно в виде поршня с цилиндром, установленным параллельно упругому элементу. В качестве примеров на рис. 6.13—6.16 пред­ставлен ряд расчетных схем машин как упругих динамических систем. На этих схемах для упрощения демпфирующие сопротив­ления не показаны.

Рассматривая колебания и динамические нагрузки в элемен­тах рабочего оборудования и несущих элементах конструкции в вертикальной плоскости, в качестве основных упругих элемен­тов на схеме (рис. 6.13) принимаем гидроцилиндры привода стрелы, рукояти и ковша, в жесткостях которых (с_г._c, с_{г. k}, с_г.k) должны быть учтены также податливости элементов гидро­привода и конструкции рабочего оборудования. Массы элементов рабочего оборудования и экскаватора могут быть приняты как сосредоточенные. При анализе динамической устойчивости экска­ватора в общем виде необходимо в расчетной схеме учесть также жесткость грунта, а для пневмоколесных экскаваторов и жест­кость с_к колес. Внешние нагрузки здесь в результате действия гидроцилиндров привода, взаимодействия ковша с грунтом в про­цессе копания и от веса рабочего оборудования.

В схеме, представленной на рис. 6.14, наиболее полно может быть учтено влияние внешних нагрузок от двигателя, муфт и тормозов привода, а также внешних сопротивлений M_c на рабо-

Рис. 6.13. Расчетная схема одноковшового гидравлического пневмоколесного экскаватора в вертикальной плоскости

чем органе и движителях. Учитывается влияние также всех основ­ных упругомассовых характеристик как механизмов привода, так и рабочего оборудования. При расчете колебаний всего экска­ватора учитывают массу 6 и жесткости канатов подвески стрелы 7

Рис. 6.14. Расчетные схемы универсального гусеничного одномоторного экска­ватора:

1 — главная муфта (гидротрансформатор); 2 — муфты привода реверсивного механизма поворота хода; 3, 4 — муфты напорной и подъемной лебедок; 5, 5' и 5" — масса ковша (с грунтом) и рукояти при повороте, напоре и подъеме; 6 — масса всего экскаватора; 7. Т — жесткости канатов подвески стрелы

Рис. 6.15. Расчетные схемы для поворотного роторного экскаватора:

а — в вертикальной плоскости; б — в плоскости поворота:

с_г, с_п - жесткости грунта; е_1изг, С_2ИЗГ, С_{1 кр}, с_{м кр} - жесткости соответственно стрелы, ротора, консоли противовеса и механизма привода на изгиб и кручение; m_p ,т_п — сосредоточенные массы соответственно ротора и противовеса; q₁, q₂ — удельная масса стрелы ротора и отвальной консоли; J₁, J₂ — приведенные к оси вращения плат-Формы момента инерции вращающихся масс соответственно механизма привода пово­рота и поворотной платформы; J_кр — момент инерции массы ротора относительно оси стрелы; φ₁, φ₂ — углы поворота масс с J₁ и J₂; х, у — перемещения масс m_p и m_п от изгиба стрелы ротора и консоли противовеса в плоскости повооота

и 7'. В схеме механизма поворота через M_с обозначено сопротив­ление повороту в опорно-поворотном устройстве. Количество приведенных масс и жесткостей в механизмах привода для раз­личных конструктивных схем машин может различаться.

В динамических расчетах поворотного роторного экскаватора (рис. 6.15) движущими будут моменты в приводах ротора и меха­низма поворота, а внешними нагрузками — сопротивления вра-

Рис. 6.16. Расчетная схема самоходной землеройно-транспортной двухсекцион­ной машины с шарнирной рамой

щению ротора при его взаимодействии с грунтом и сопротивления в опорно-поворотном устройстве.

На рис. 6.16 землеройно-транспортная двухсекционная ма­шина с шарнирной рамой представлена как динамическая система, состоящая из двух твердых тел 1 и 2 (передней и задней частей) с сосредоточенными массами m₁ и m₂, связанных шарниром с двумя степенями свободы, которые обеспечивают их поворот относительно осей χ и у. На этой схеме представлена машина без упругодемпфер-ных подвесок колес, и основными упругими элементами системы здесь являются шины с радиальной и боковыми жесткостями с₁ и с₂ и шарнирный механизм складывания с круговой жесткостью с₃. Внешние нагрузки на колесах здесь представлены силами P_Ki тяги, внешними сопротивлениями P_fi, боковыми реакциями R_i, связей, возмущающими воздействиями от микропрофиля под каждым колесом x_i (t).

Исследования взаимовлияния колебаний отдельных узлов и элементов конструкции в машинах показывают, что для решения ряда локальных задач анализа колебаний и динамических на­грузок их расчетные схемы можно значительно упрощать и в ряде важных случаев с приемлемой для практики точностью сводить к рассмотрению движения одно-двухмассовых упругих систем, находящихся под действием внешних нагрузок или кинематиче­ских возмущений, например неровности дороги.

Однако рассмотрение полных и сложных расчетных схем машин, как упругих динамических систем, особенно необходимо при обосновании возможности применения упрощенных расчет­ных схем и оценке степени погрешности в расчетах, допускаемых при этом.

Математическое описание расчетных схем машин для земляных работ, их узлов и элементов как упругих динамических систем может проводиться разными методами. Для этого наиболее широко используют уравнения Лагранжа второго рода и принцип Да-ламбера.

Уравнения Лагранжа второго рода в общем виде записы­ваются как

(6.31)

где T и U — кинематическая и потенциальная энергии системы; q_i — обобщенные координаты системы (i = 1. 2, ..., n — полное число обобщенных координат дифференциальных уравнений); Q_i — обобщенные внешние силы (моменты). Если выражения T и U записываются в виде

где а_ij и b_ij — константы: q_i — обобщенные скорости системы, то динамическая система описывается совокупностью линейных дифференциальных уравнений второго порядка, а уравнения (6.31) могут быть переписаны как

(6.31')

Ввиду того, что логарифмические декременты затухания соб­ственных колебаний основных узлов и элементов конструкции машин, как правило, не превышают 0,2—0,25 для колебаний с низкими частотами и 0,06—0,08 для колебаний с высокими ча­стотами, в уравнениях (6.31) и (6.31') учет диссипативных функций рассеивания при анализе частот и форм собственных колебаний динамических систем не имеет практического значения.

Рассмотрим применение уравнений Лагранжа (6.31') на про­стом примере роторного поворотного экскаватора колебания в вертикальной плоскости стрелы с ротором на подвеске (рис. 6.17). Если принять форму деформации стрелы под действием собствен-

Рис. 6.17. Расчетная схема колебаний стре­лы с ротором на подвеске:

с — жесткость подвески стрелы с учетом подат­ливости надстройки, m — масса ротора; I — дли­на стрелы; q' — удельная масса стрелы; Ε — мо-Дуль упругости, J — момент инерции сечения стрелы; Ρ — сила, действующая на ротор, М — момент, χ — перемещение в точке А (центре ро­тора), у — прогиб стрелы

ного веса, соответствующей закону у sin (πz/l), выражения для T и U в уравнении (6.31') запишутся так:

(6.32)

(6.33)

где ω = xz/l + у sin (πz/l); ω '' — вторая производная по z; ω — первая производная по времени.

После несложных преобразований получим

2U = EJπ⁴/(2 l³) + сx²; (6.34)

2T = g'lx²/3 + 2q'lxy/π + q'ly²/2 + mx². (6 35)

Исходя из левой части уравнения (6.31) и уравнений (6.34) и (6.35), получим систему совместных уравнений без правой части, описывающую собственные колебания стрелы с ротором:

(m + q'l/3)x + q'ly/π + cx = 0, q'lу/2 + q'lx/π + π⁴ЕJу/(2l³) = 0. (6.36)

Из решения системы этих уравнений можно получить две частоты и формы собственных колебаний стрелы с ротором на подвеске.

Для анализа вынужденных колебаний и динамических нагру­зок в подвеске и стреле от внешних нагрузок необходимо опреде­лить обобщенные силы Q_i в правой части уравнений (6.31) и (6.31'), которые могут быть выражены как

Q_i = дA/дq_i, (6.37)

где А — работа внешних нагрузок на обобщенных координатах q_t. В данном примере работа А от силы P и момента M на коорди­натах χ и у выразится в виде

А = Рх + M (х/1 — пу/1). Обобщенные силы соответственно будут

⁽⁶·³⁸⁾

Исходя из этого, вынужденные колебания ротора со стрелой при действии внешних нагрузок на роторном колесе P и M за­пишутся в виде

⁽⁶·³⁸⁾

Применение уравнений Лагранжа (6.31) для составления математических моделей колебания динамических систем является

наиболее универсальным. Однако при его применении важным моментом является рациональный выбор обобщенных независи­мых координат, описывающих деформированное состояние кон­струкции при колебаниях. Такой выбор не является однозначным и в известной мере зависит от квалификации расчетчика. Однако если выбраны одни и те же физические предпосылки при составле­нии деформированного состояния, но разные обобщенные неза­висимые координаты, то это не должно сказаться на окончатель­ных результатах расчетов.

Использование принципа Даламбера дает большую физиче­скую наглядность, так как уравнения движения системы состав­ляются исходя из условий равновесия масс, находящихся под действием упругих сил, сил инерции и внешних нагрузок. В то же время при рассмотрении сложных динамических систем трудно выбирать знаки перед силами инерции и упругости и др. Поэтому этот метод целесообразен, в первую очередь, для математического описания рядных динамических систем, не имеющих большого количества разветвлений. Примеры применения этого принципа будут рассмотрены ниже.

6.2.4. Динамические нагрузки при разгоне, торможении и стопорении механизмов привода рабочих органов и движителей

Рассмотрим характер изменения динамических нагру­зок и влияние на них основных параметров машин для земляных работ, как упругих динамических систем, на примерах анализа упрощенных расчетных одно- и двухмассовых систем (рис. 6.18), позволяющих в ряде случаев, не прибегая к применению сложных

Рис 6 18 Упрощенные расчетные схемы динамических систем для анализа дина­мических нагрузок

о — при разгоне и торможении б — при стопорении в — схема нагружения, M — дви­жущий момент М — момент сил сопротивления J₁ , J₂ — моменты инерции сосредо-точенных масс, с — крутильная жесткость

численных методов решения на ЭВМ, оценить размер и характер динамических нагрузок и выявить пути их снижения.

На рис. 6.18, а, б параметры динамических систем представ­лены в круговой форме. Если представить системы в линейной форме, то вместо M и M_c должны быть подставлены соответствую­щие силы Ρ и Р_с (Η), вместо J₁ и J₂ массы m₁ и т₂ (кг) и с — ли­нейная жесткость (Н/м).

Динамические нагрузки при разгоне и торможении. На рис. 6.18 штриховыми линиями показано, исходя из рис. 6.7, достаточно общее изменение во времени t внешних нагрузок M и М_с при раз­гоне или торможении механизмов привода, позволяющий оце­нить влияние ряда параметров привода и особенно плавности нарастания движущей или тормозной нагрузки M от 0 до Mmax за время t₀ на динамические нагрузки в элементах конструкции, характер изменения которых показан сплошной кривой М_Д. Для первого периода (t < τ) движения двухмассовой упругой системы (см. рис. 6.18, а), когда нагрузка Л_д в упругом элементе не достигла величины внешних сопротивлений M_c и вторая масса с моментом J₂ инерции не пришла еще в движение (или продол­жает двигаться равномерно при торможении), дифференциальное уравнение движения первой массы без учета влияния демпфирую­щих сопротивлений в соответствии с принципом Даламбера должно быть записано в виде

. (6.40)

Решение этого уравнения при начальных условиях t = 0, φ₀ = 0, ω₀ = 0 может быть записано в виде

<6-41>

где ρ = у^с/j! — круговая частота собственных колебаний си­стемы для t < τ.

Поскольку усилие в упругом элементе для t < τ будет М_д = = φ₀С, получим

Μ_д = t tg α - ((tg α)/p) sin pt. (6.42)

Из этого уравнения видно, что при 0 < t < τ нагрузка М_д в упругом элементе гармонически колеблется около нагрузки t tg α с амплитудой, пропорциональной интенсивности нарастания движущего усилия M_max/t₀ = tg а и обратно пропорциональной частоте собственных колебаний системы. Для t > τ, когда в дви­жение приходят обе массы, динамическая нагрузка в упругом элементе

М_Д = (φ1 - φ₂) с. . (6 43)

Дифференциальные уравнения движения системы для τ < < t < τ₀, выраженные через t₁ = t — τ, запишутся так:7

(t₁ + τ) tg α-(J₁d²φ₁)/dt² = (φ₁-φ₂) с;

M'_e0±t₁ tg a + (J₂d²φ₂)/dt² =(φ₁-φ₂) с, (6.44)

где M'co = Mco ± τ tg β.

Решения этих уравнений относительно φ₁ и φ₂ могут быть за­писаны в виде

φ₁ = A, sinp₁t₁ + b₁ cosp₁t₁, + C₁ + D₁t₁ + E₁t₁² + F₁t₁³ί φ₂ = A₂ sin ρ₁t₁ + B₂cos p₁t₁ + C₂ + D₂t₁ + E₂t₁² + F₂t₁³ (6.45)

где ρ = ((J₁ +J₂ ) c/(J₁J₂))^1/2 — круговая частота собственных ко­лебаний системы для t > τ.

Определив коэффициенты в уравнениях (6.45) и проведя опре­деленные преобразования, получим выражение для определения М_д при τ < t < t₀.

Для определения максимальной нагрузки М_{Д тax} в упругом элементе (рис. 6.18, в) рассмотрим третий период движения при t >t₀, когда движущая нагрузка M = Mmax == const. Для этого периода движущее усилие Mmax = const можно рассматривать как алгебраическую сумму двух нагрузок, возрастающих по одному и тому же закону, но направленных в противоположные стороны, одна из которых отстает от другой на t₀. Просуммировав таким образом полученные решения, получим для t > t₀ следую­щие выражения, определяющие максимальные динамические на­грузки:

(6.46)

где Τ₁ = 2π/ρ₁ = 2π (J₁J₂/[c(J₁+J₂)])^1/2 — период собственных колебаний упругой системы при t > τ.

Если предположить, что в выражении (6.46) sin [π (t₀ — T)/T_t ] = = 1, то увидим, что максимальная амплитуда колебаний нагрузки будет зависеть только от отношения T₁/t₀ При увеличении t₀/T₁ амплитуда колебания нагрузки будет уменьшаться и при t₀/T₁ -> -> оо будет стремиться к нулю.

При t₀ = 0 и M_CO = const выражение (6.46) примет вид

(6.47)

Рис. 6.19. График изменения коэффициентов K динамичности

а — для нарастания движущего усилия по кривым 1 — IV (см рис 6, 7, а), б — от λ' =

= t_ρ (_Τ)/Τ Для кривой V (см. Рис. 6.7, а)

Учитывая, что MmaxM_C0/(J1 + J2) = e — средние ускорения системы без учета колебаний, выражение (6.47) может быть за­писано в виде

М_{д max} = Mco + J2е + ((Mco + Je)^2'-(J1/(J1+J2) M_C²₀ )^1/2 (6.48)

Коэффициент динамической нагрузки упругого элемента за счет колебаний К = М_дтах/(М_с0 — /₂e) будет в значительной степени зависеть от отношений M_c0/Mmax и J1J2. Из выражения (6.48) видно, что максимальное значение его будет равно 2 при M_c0 = 0. Значения К будут тем меньше, чем больше будут Mco/Mmax и J1/J2· Если же эти отношения стремятся к нулю, то К->2.

Чтобы наглядно представить влияние времени t₀ и характера плавного нарастания движущей или тормозной нагрузки (см. рис. 6.7, а) на динамические нагрузки, рассмотрим случай, когда m_co ⁼ 0· Для этого случая, приняв t₀/T = λ, выражение (6.46) можно записать в виде

М_дmax = (J2/(J1+J2)) Мmах (1 + 1Iπ λ) sin πλ, (6·49)

а коэффициент динамичности нагрузки

₍₆₅₀₎

Аналогично могут быть получены выражения для определения М_дmaxи К при нарастании движущей нагрузки по кривым // —IV на рис. 6.7, а.

Графики изменения коэффициентов динамичности для нара­стания нагрузки по кривым /—IV (см. рис. 6.7, а), когда при t > 0,5T они проведены по огибающим через максимумы ампли­туд, приведены на рис. 6.19. Из этого рисунка видно, что при одинаковом значении t₀ коэффициенты динамичности при различ­ном нарастании внешней нагрузки на конструкцию отличаются несущественно. Для существенного снижения динамических на-

грузок (К < 1,2) при разгонах и торможениях механизмов при­вода, если влияние зазоров несущественно, необходимо обеспе­чивать to/T > 1,5—2.

Для случаев разгона или торможения, когда закон изменения внешней нагрузки за время ί_{ρ (т)} отвечает кривой V (см. рис. 6.7, а),

т- е.

изменение коэффициента динамичности отвечает рис. 6.19, б. Из этого рисунка видно, что коэффициент динамичности в слу­чаях, когда tί_ρ (_T)/Ti < 0,25, будет меньше 1.

Влияние зазоров в кинематических парах механизмов привода, элементов рабочего оборудования и движителей на динамические нагрузки при разгоне и реверсировании можно оценить, рас­смотрев ту же схему (см. рис. 6.18, а) и те же урав'нения движения (6.40)—(6.44) при условии, что к моменту начала деформации упругого элемента (t = 0) масса с моментом J инерции будет уже иметь перемещение, равное зазору (δ₁ = δ), и скорость ω_δ, которую она получит в процессе выбора суммарного зазора в ки­нематических парах. Приведенное значение δ определяется из формулы (6.27).

Κ динамическим системам с зазором можно отнести также канатные системы привода рабочих органов, когда имеет место разгон механизмов с предварительно распущенным канатом. В этих случаях максимальные динамические нагрузки можно рас­считывать, исходя из максимальной скорости, обеспечиваемой

ПРИВОДОМ ω_δ =ω_max.

Время t₆ выбора зазора и скорость ω_δ при нарастании дви­жущего (или тормозного) усилия по линейному закону (см. рис. 6.18, в)

(6·51)

В тех случаях, когда зазоры большие и по формуле (6.51) получаем ω_δ больше максимальной скорости ω_mах, обеспечивае­мой приводом, в расчетах следует принимать ω_δ = ω_mах.

Решая соответствующие системы уравнений при начальных

УСЛОВИЯХ — t = 0, φ1 = δ, ω = φ1 = ω_δ И M = M_δ = M_maxt_δ/t₀

Для случая M_co = const, аналогично выражению (6.46) получим

(6.52)

Для случая M_c0 = 0, а время выбора зазора t_δ = t₀, выраже­ния для М_дmax и коэффициента динамичности К будут

(6.52')

(6.53)

Из выражения (6.53) видно, что коэффициент динамичности нагрузки в этом случае уже больше 2 и значение его растет по мере роста отношения t_δ/t1·

Для случая мгновенного приложения внешней нагрузки M_max = const при Mco = 0 коэффициент динамичности

(6.54)

На примере расчетной схемы, показанной на рис. 6.18, б, рассмотрим динамическое нагружение в процессе стопорения ме­ханизмов привода рабочих органов или движителей с учетом за­висимостей, представленных на рис. 6.8.

Решение дифференциального уравнения (6.40) для изменения движущей избыточной нагрузки в процессе стопорения по харак­теристике 1 может быть записано в форме

(6.55)

где ρ — круговая частота колебаний, ρ = √с/J .

Коэффициенты Л и В определятся из начальных условий — при t = О φ₁ = φ₀ = Mo/c; dφ₁/dt = ω₀;

Учитывая, что φ₁c = М_д, из выражения (6.55) для времени t =<t_CT получим

(6.56)

Максимальные динамические нагрузки будут достигнуты при sin pt = 1 (т. е. в конце стопорения при t = t_ст, когда ω = О, и t_ст = Т/4) и могут быть выражены как

М_{д mах} = ω₀ (cJ)^1/2 + 0,636M₀ + 0,364M_max. (6.57)

Первый член в этой формуле характеризует динамические на­грузки от кинетической энергии движущихся масс, второй и тре­тий члены зависят от максимальной движущей нагрузки M_max, обеспечиваемой приводом, и усилия M₀ в системе перед стопо­рением.

Решения уравнений движения при стопорении для других характеристик движущей нагрузки (см. рис. 6.8) дают следующие зависимости для М_maк:

для характеристики 3, когда M = Мтax = const,

М_дmах = ω₀ (Jc)^1/2 + M_mах; (6.58)

для характеристики 4, когда M = Mmax sin [π t/(2t_CT) ],

M_дmzx = ω₀ (Jc)^1/2 + 0,5 (Mmax + Mo); (6-59)

Для характеристики 5, когда M = Mmax sin (π t/t_cτ),

M_{д max}=ω₀ (Jc)^1/2+0.25M₀+0.75Mmax. (6.60)

Для характеристики 2 в общем виде получается значительно более сложное выражение для определения М_дтах. ·

Если принять, что в начале стопорения M₀ = 0, то, сравнивая выражения (6.57)—(6.60), видим, что привод, обеспечивающий изменение движущей нагрузки по закону M_max = const, вносит наибольшую добавку в суммарную составляющую максимальных динамических нагрузок при стопорении и наименьшую для ха­рактеристики 1. Следует отметить, что при оценке стопорных динамических нагрузок в динамических системах, приведенных к линейным величинам во всех формулах (6.57)—(6.60), следует заменить ω₀ на v₀ (м/с), J на m (кг), M на P (Н) и с представить в линейных единицах (Н/м).

Влияние затухания колебаний на максимальные динамические нагрузки при разгоне, торможении и стопорении можно оценить исходя из декремента δ затухания колебаний:

К_зат = К - (К - 1) nб, (6.61)

где К и К_зат — коэффициенты динамичности нагрузки без учета затухания и с учетом затухания; δ — декремент затухания коле­баний по основной проявляющейся частоте и форме колебаний; η — число периодов колебаний до момента возникновения макси­мальной динамической нагрузки.

Учитывая, что в большинстве случаев δ лежит в пределах 0,05—0,3, а значение n при стопорении приблизительно равно 0,25, а при разгонах и торможениях, когда возникают существен­ные динамические нагрузки, обычно не более 2—3, то К_3ат ~ ~ (0,97—0,92), т. е. погрешность определения максимальных Динамических нагрузок без учета затухания колебаний лежит в пределах 3—8% повышения запаса прочности.

6.2.5. Динамические нагрузки резонансного характера

Изложенные методы составления дифференциальных Уравнений для анализа движения достаточно полных динамиче­ских систем типа систем, представленных на рис. 6.13—6.17, и представления внешних нагрузок от рабочих органов или при-

водов, имеющих периодические составляющие, в виде, например, рядов Фурье (6.4), а также знание ориентировочных значений де­крементов затухания колебаний позволяют составить системы дифференциальных уравнений, описывающих расчетные схемы, и решать задачи определения динамических нагрузок при вы­нужденных колебаниях машин для земляных работ резонансного характера.

Расчет с достаточной точностью многомассовых динамических систем этих машин на резонансные колебания является доста­точно сложной задачей, требующей, как правило, применения ЭВМ. Однако оценку динамических нагрузок при рассмотрении резонансных колебаний можно проводить в ряде случаев с доста­точной точностью, пользуясь принципом суперпозиции действия внешних нагрузок на линейную динамическую систему путем определения параметров колебаний для каждой составляющей гармонической нагрузки в отдельности с последующим сумми­рованием результатов.

Если известны декреметы δ затухания колебаний с различ­ными формами собственных колебаний, то задача замены системы совместных уравнений для сложных динамических систем может быть сведена к рассмотрению системы независимых уравнений, каждое из которых описывает вынужденные колебания с опреде­ленной собственной формой под действием гармонических на­грузок. В этом случае коэффициент динамичности гармонической составляющей внешней нагрузки при резонансе может опреде­ляться как [11)

К = π/δ, (6.62)

где δ — логарифмический декремент затухания колебаний.

Следовательно, задача о вынужденных колебаниях сводится к определению собственных форм колебаний и разложению внеш­ней нагрузки по этим формам колебаний. Затем необходимо вер­нуться от найденных колебаний конструкции по собственным формам к колебаниям по обобщенным координатам.

В качестве примера рассмотрим вынужденные колебания в механизме привода ротора с электрическим приводом по системе Г—Д для роторного поворотного экскаватора, предположив, что возникающие в нем крутильные колебания не зависимы от коле­баний металлоконструкции рабочего оборудования. Расчетная схема привода может быть представлена в этом случае в виде двухмассовой динамической системы, показанной на рис. 6.18, α и находящейся под действием крутящего момента M от двигателя привода, приведенного к валу роторного колеса, и момента M_c сопротивления на роторном колесе.

Для установившегося движения система уравнений запишется в виде

J1φ1 + ν (φ1 — φ2) + С (φ1 — φ2) = М; J2φ2 - ν (φ1 - φ2) - с (φ1 - φ2) = Mc, (6.63)

где J1 — приведенный к валу привода ротора момент инерции вращающихся масс двигателя и механизма привода; J₂ — момент инерции ротора с грунтом; с — крутильная жесткость механизма привода, приведенная к оси ротора; ν — коэффициент демпфи­рования колебаний за счет неупругих потерь в материале деталей и кинематических парах механизма привода.

Коэффициент ν демпфирования системы, представленной на рис. 6.18, а, найдем по формуле (6.28), в которой массу m следует заменить приведенным моментом инерции (J1J2)/(J1+J2), а ча­стоту собственных колебаний принять равной

ρ = ((J1+J2)c/(J1J2))^1/2 Тогда

Момент, обеспечиваемый двигателем привода ротора по си­стеме Г—Д, может быть представлен при линейной его механиче­ской характеристике на рабочей ветви в виде

M = а — bφ1. (6.64)

Наличие в этом выражении члена bφ1 указывает на демпфиру­ющую спрсобность двигателя. Для момента сопротивления на валу ротора (см. рис. 6.9, а), который может быть разложен в ряд Фурье в соответствии с выражением (6.4), из гармонических составляющих в полном моменте M_c оставим только ту, которая вызывает резонансное (или околорезонансное) нагружение. Учи­тывая также зависимость M₀ от скорости резания v = φ1 (r — радиус ротора), можем записать его выражение в виде

Mc = (Mcp + Ma sin y θ t)(1 + R0φ2). (6.65)

Учитывая, что резонируемой гармоникой внешнего сопротив­ления с частотой γθ (γ = 1, 2...) для механизма привода может являться, как правило, вторая или третья (γ = 2 или γ = 3), то будем считать, что M_cp >> M_a и выражение (6.65) можем на­писать как

м_с = M_cp(1 + R₀φ₂) + M_a(1 + R₀ω) sin γθt, (6.66)

где ω — постоянная составляющая угловой скорости ротора.

Учитывая, что механические характеристики приводов ротора

обычно достаточно жесткие и значение ω мало зависит от внешней

нагрузки M₀, то выражение (6.66) можно записать более просто:

Mc~ M_cp + M_a sin γθt + M_cpR₀φ_{2 nep}, (6.67)

где φ2пер — гармоническая составляющая скорости.

Из этого выражения видно, что M_с также содержит член М_срR₀φ₂ пер. приводящий к демпфированию колебаний.

Решение системы линейных уравнений (6.63) в общем виде может быть записано как

φ₁ = A1 Sin γθt + В1 COS γθt+ D1 + ωt

φ1 = A2 sin γθt + Β2 cos γθt + D2 + ωt (6'68)

φ1=Ε1 sin (γθt +ξ1) + ω;

φ2 = E2 sin(γθt + ξ1) + ω. (6·69)

Динамический крутящий момент M_д в механизме определится из системы выражений (6.68).

Определение коэффициентов А₁ В₁ ... при числовых рас­четах представляет значительные трудности, поэтому применяют чаще всего ЭВМ. Однако, учитывая специфичность реальных па­раметров рассматриваемых механизмов привода ротора, когда J1 = (5—10) J₂, т. е. J_l >> J₂. можно полагать, что амплитуда ко­лебаний гармонической составляющей φ₂ значительно больше амплитуды φ₁. Это позволяет более просто оценить интенсивность демпфирования резонансных колебаний благодаря M_c = f (φ₂) путем замены системы (6.68) одним уравнением колебания ротора, который с учетом уравнения (6.66) запишется как

J₂φ₂ + M_CpR₀φ₂ + cφ₂ = Mcp (1 + R₀ ω) + M_a (1 + R₀ω) sin γθt ~ ~ M_Cp + M_a sin γθt.

При взаимодействии ротора с грунтом декремент затуханий найдем по прежней формуле (6.28), заменив в ней т на J₂, и с уче­том равенства коэффициентов демпфирования

δ / π pJ₂ = M_cpR₀.

Имея в виду, что ρ = ( с/J₂)^1/2, получим

δ_Γ ~ π M_CpR₀p/c. (6.70)

Пользуясь экспериментальными данными, полученными при резании глинистых грунтов категорий III—IV на скоростях реза­ния, имеющих место у роторных экскаваторов, силы и моменты сопротивления копанию на роторе определяются как

M_cp = Μ_cρ0(1+0,15rω);

(6.71)

где Mcpo — средний статический момент сопротивлений без учета влияния скорости копания; r — радиус ротора по режущим кром­кам, м; ω — угловая скорость ротора.

И сходя из этого, можно считать, что R = 0,15r и декремент

(6·72)

Например, для мощного отечественного роторного экскаватора ЭРШР-1600, у которого r = 8 м, ω = 0,515 рад/с, с = = 333 000 кН*м/рад, ρ = 15 Гц при Q = 3750 м³/ч и коэффи­циенте сопротивления грунта копанию R1 = 0,3 МПа, имеем M_cρ = 480 кН-м и б_г = 0,05.

Для оценки демпфирующих способностей электропривода ро­торного колеса так же, как и в предыдущем случае, предположим вначале отсутствие других членов уравнений (6.63), характери­зующих демпфирование:

Jφ1 + С(φ1 — φ₂) =M; Jφ2 —С(φ1 —φ₂) = —Mc, (6.63') где M определяется по выражению (6.64); M_c = M_cp + M_asin γθt.

Выразив φ₁ φ₂, φ₁, φ₂ и φ₁ φ₂ в соответствии с формулами (6.68) и (6.69) и подставив их в уравнение (6.63'), а также прирав­няв в каждом из уравнений (6.63') коэффициенты при sin ωt и cos ωt и t и свободные члены в левой и правых частях, получим восемь уравнений для отыскания восьми неизвестных постоянных коэффициентов А₁ В₂ ...

Так, имеем

ω = (α - M_cp)/b; d1 - D2 = M_cp/c, (6.73)

где M_cp — средний момент в упругом элементе.

Амплитуда переменной гармонической составляющей момента в упругом элементе

(6.74)

Коэффициент динамичности от внешней нагрузки

К = M_B/M_a. (6.75)

В ычислив значения (A₁ — A₂), (В₁ — В₂) и подставив их уравнение (6.75), получим

(6-76)

где ξ = J2/J1 μ = ω/ρ; ρ = ( с (J1 + J2)/(J1J2))^1/2; Z₀ = b/(ρJ1). Исследовать влияние параметров ξ, μ, Ζ₀ на коэффициент ди­намичности по формуле (6.76) при резонансе в общем виде невоз­можно. Однако для фиксированных значений ξ и Ζ₀ можно по­строить графики К = / (μ²). Проведенный анализ значений К. Для реальных пределов 0,1 =<; ξ =< 0,2 и 0,2 < Ζ₀ < 1, исходя из выражения (6.76), декременты затухания за счет электропривода могут находиться в широких пределах, т. е. 0,06 < δ_Э < 0,285. Для указанных пределов изменения Ζ₀ и ξ может быть рекомен­дована следующая аппроксимирующая формула для максималь­ных значений К:

К = f (ξ, Ζ₀)/(ξΖο), (6.77)

где

f(ξ, Ζο) = (4,81 - 34,35ξ)Ζ₀² + (42,5ξ - 4,58)Ζ₀ + (1,77 - 7,23ξ).

(6.78)

В качестве примера оценим значение δ_э для привода ротор­ного экскаватора ЭРШР-1600. Момент от двигателя выразим

(⁶·79)

где M_H — номинальный момент двигателя, приведенный к валу ротора; ω₀ — угловая скорость ротора, соответствующая ча­стоте вращения вала двигателя на холостом ходу; ω_H — частота вращения, соответствующая номинальному моменту. Исходя из этого,

ь = M_H/(R_Hω₀). (6.80)

Для привода ротора экскаватора ЭРШР-1600 имеем M_H = = 2150 кН-м, R_x = 0,03, ω₀ = 0,545 рад/с, J₂ = 10,8*10⁶ кг-м² и ξ = 0,2, откуда b = 1,2-10⁵ кН-м-с и Z₀ = 0,89.

Подставляя значения ξ и Z₀ в формулу (6.77) для экскаватора ЭРШР-1600, получим К = 11. Следовательно, исходя из выраже­ния (6.62), б δ = 0,276.

Суммарный декремент затухания колебаний в приводе ротора

δ₀ = δ + δ_Γ+δ_Э.

(6.81)

Подставляя этот декремент в формулу (6.62), находим истин­ный коэффициент динамичности от гармонической составляющей при резонансе.

Если принять для экскаватора ЭРШР-1600 δ = 0,12, δ_г = = 0,05 и δ_Э = 0,276, то δ₀ = 0,446, и по формуле (6.62) коэффи­циент динамичности составит К = 7,05. Это показывает, что демпфирование резонансных колебаний в механизме привода роторного колеса может быть в значительной степени осуществлено за счет электропривода.

Зная значения К и M_a, а по формуле (6.75) можно определить амплитуду гармонической переменной составляющей момента M_B в механизме привода роторного колеса при резонансных колеба­ниях. Для привода роторного колеса экскаватора ЭРШР-1600 при разработке грунтов категорий III—IV изменение расчетного момента внешних сопротивлений M₀. показано на рис. 6.20, а· При наличии резонансных колебаний в механизме привода по третьей форме колебаний с ρ — 15 рад/с (T/3) амплитуда внешней нагрузки по этой форме колебаний будет

М_с = 320/3 ~ 107 кН-м.

Постоянная составля­ющая момента в этом случае равна 1200 кН-м.

По формуле (6.75) по­лучаем

М_дЗ = KM_C3 = = 7,05*107 = 750 кН-м.

Эта нагрузка будет яв­ ляться основной составля­ ющей в общей динамиче­ ской нагрузке. Кроме нее в механизме будут также действовать динамические нагрузки по первой (с пе­ риодом Т) и второй (с пе­ риодом Т/2) формам нере­ зонансных колебаний. При отсутствии резонанса ура­ внение вынужденных колебаний в механизме от действия соответству­ ющей первой или второй гармонических составля­ ющих запишется в соот­ ветствии с формулой (6.63) в виде

(6.82)

Решая это уравнение, амплитуды гармонических составляющих колебаний можно выразить в виде

(6.83)

Рис. 6.20. Изменения во времени момента от внешних сопротивлений (а) и колебания мо­мента в приводе ротора (б, в, г, д) экскава­тора ЭРШР-1600

Для рассматриваемого примера

Отсюда видно, что для рассматриваемого случая нерезонанс­ные гармоники от внешней нагрузки M_B1 и M_B2 более низкой частоты соизмеримы с резонансными нагрузками M_B3 и ими в данном случае пренебрегать не следует.

Общий характер изменения динамических нагрузок в меха­низме привода ротора показывает график Μ_дΣ на рис. 6.20, д. При меньших демпфирующих способностях электропривода ам­плитуда и динамические нагрузки в механизмах привода ротор­ного колеса при наличии резонанса по третьей или второй форме колебания могут существенно возрастать и приводить к нестабиль­ности работы привода. Отсюда видно, насколько важно спроек­тировать конструкцию привода роторного колеса так, чтобы она не имела резонансных колебаний. Для уменьшения колебаний в приводе ротора применяют также гасители колебаний различного рода и наиболее часто — упругодемпферное опирание корпуса ротора на конструкцию стрелы.

6.2.6. Применение ЭВМ для расчета и исследования динамических нагрузок

Для расчета и анализа достаточно полных и сложных расчетных схем машин для земляных работ как динамических систем (см. рис. 6.13—6.16), описываемых обычно достаточно слож­ными системами уравнений, в настоящее время широко исполь­зуются как цифровые, так и аналоговые ЭВМ. Основные принципы решения математических моделей, к которым сводится математи­ческое описание этих машин как динамических систем, изучаются студентами в курсах «Вычислительная техника и программирова­ние», «Высшая математика и математические задачи на ЭВМ» и «Основы автоматизированного проектирования машин» и др., которые обычно предшествуют изучению курса «Машины для земляных работ». Поэтому рассмотрим лишь некоторую специ­фику применения ЭВМ для расчета динамики этих машин и ука­жем дополнительные источники, которые могут быть при необ­ходимости использованы [8—10, 22, 27].

В практике расчета и анализа проблем динамики этих машин созданы и постоянно совершенствуются специальные системные методы и программы для их решения, которые можно использовать часто также и при анализе динамики других машин. К таким мето­дам и программам относятся, например, расчеты уровней низко-

частотных колебаний и вибраций и вычислений амплитудно-частотных характеристик для различного рода землеройно-транс­портных, землеройных колесных и гусеничных машин; динамиче­ские расчеты привода, трансмиссий и систем управления; дина­мические расчеты различных шарнирно сочлененных элементов рабочего оборудования экскаваторов, погрузчиков и др.; дина­мические расчеты несущих металлоконструкций.

Для анализа динамики механизмов привода и систем управле­ния машин для земляных работ достаточно широко и успешно применялись и применяются аналоговые моделирующие уста­новки [8—10, 27], с помощью которых решаются многие сложные задачи динамики этих машин. Достоинством АВМ при этом яв­ляется возможность обеспечить достаточно точное соответствие специфики машины ее математическому описанию, наглядность решения которого выдается на осциллограф, и удобство интер­претации его результатов, быстрота решения и относительная дешевизна оборудования, возможность естественного сопряжения модели аналога и реальной аппаратуры регулирования и управ­ления приводом.

При решении достаточно сложных задач динамики приводов машин требуется применение до 50—70 операционных усилителей. Цифровые ЭВМ с большим быстродействием и большой памятью в настоящее время являются наиболее универсальными машинами, позволяющими решать практически любые задачи динамики машин.

Большинство ЭВМ снабжают большим пакетом универсальных математических программ, построенных по модульному принципу и легко включаемых в специализированные проблемно-ориенти­рованные программы, которые создаются для решения математи­ческих моделей этих машин, как упругих динамических систем. Среди разработанного большого количества методик, алгорит­мов и программ, позволяющих решать разнообразные задачи динамики машин на ЭВМ, остановимся кратко на методике ВНИИстройдормаша [27]. Эта методика построена на использо­вании заранее подготовленного набора специализированных па­кетов программ, описывающих различные связи, используемые в машинах и исключающие затраты времени на составление диф­ференциальных уравнений движения, разработку и отладку для них соответствующих программ.

Покажем эти методические особенности на примере исследо­вания динамики самоходного скрепера, расчетная схема которого приведена на рис. 6.21, а. Скрепер здесь представлен в виде системы твердых тел, соединенных типовыми связями — шар­нирами, тягами, пружинами, гидроцилиндрами, колесами (ши­нами) и т. п. Пронумеровав в произвольной последовательности все твердые тела 1, 2, 3 и 0 (грунт), образующие механизм, и точки на телах 4—15, на которые наложены те или иные связи, можно описать любой механизм совокупностью строк вида

NIJK—ИМЯ—CONST, (6.85)

Рис. 6.21. Схема к методике ди­намического расчета самоходно­го скрепера на ЭВМ по програм­ме Лагранж

где NJ — номера связываемых твердых тел; I, К — номера точек на телах, где приложена связь; ИМЯ — имя связи (шарнир, тяга, пружина, шина и т. п.); CONST — набор констант, харак­теризующих данную связь.

Очевидно, что формула (6.85) содержит все данные, необходи­мые для формирования уравнений, учитывающих характер связей. Само указание о связи в формуле (6.85) дает возможность допол­нить уравнения соответствующими условиями кинематической связи, а совокупная система уже может быть решена на ЭВМ в автоматическом режиме теми или иными известными машинными методами.

На рис. 6.21, б в виде примера приведена библиотека некото­рых типовых связей, которая может пополняться, на рис. 6.21, в — пример описания механизма в виде набора строк. В этих форму­лах с, ν, l с индексами 1—4 обозначены соответственно жесткости, коэффициенты демпфирования и свободная длина пружин или радиусы шин.

Схема полной программы ЛАГРАНЖ (на языке ФОРТРАН), реализующая эту методику на ЭВМ, представлена на рис. 6.22. Программа ЛАГРАНЖ оформлена в виде системы подпрограмм и построена так, что при введении новых связей требуется, не внося никаких изменений в программу в целом, лишь добавить соответ­ствующую подпрограмму для связи в подпрограмму КОММУ­ТАТОР.

Работа программы начинается с подпрограммы ВВОД исход­ных данных, которая последовательно формирует матрицу коэф­фициентов уравнений, строки описания связей по формуле (6.85) и поле начальных условий. После этого программа обращается к стандартной подпрограмме ЭЙЛЕР. Эти подпрограммы опери­руют полем начальных условий и правых частей соответствующих дифференциальных уравнений первого порядка, вычисление кото-

рых организуется подпрограммой ПРАВАЯ, состоящей из под­программ ДЕКОД, ВЕС, ВОЗМУЩЕНИЕ и РЕШЕНИЕ.

Рис. 6.22. Схема программы Лагранжа

Имеющийся опыт использования этой методики показал, что несмотря на некоторое удлинение процесса вычислений на ЭВМ, суммарное время, затрачиваемое исследователем на решение всей задачи, существенно уменьшается.

β.3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ НАГРУЖЕНИЯ

Нагрузки, испытываемые узлами машин для земляных работ, являются, как правило, функциями многих аргументов — физико-механических свойств грунтов, параметров и состояния рабочих органов и движителей, скоростей и траекторий их дви­жения, воздействий операторов машин на работу их привода через системы управления и т. п. Значительная часть этих аргу­ментов случайно изменяется во времени и пространстве. Поэтому и нагрузки в узлах машин также в значительной мере изменяются случайно и представляют собой случайные процессы (см. рис. 6.1 — 6.4).

Для расчета элементов конструкций машин на надежность необходимо знать основные характеристики нагрузок этих машин как случайных процессов. Основными характеристиками, опре­деляющими случайные процессы изменения нагрузок (рис. 6.23) X_i = f (t), являются их математическое ожидание M (t), диспер­сия D (i) или среднее квадратическое отклонение σ = D^1/2 и коэффициент вариации ψ = σ/М.

Рис 6 23 Характерные реализации случайных процессов

α — стационарные, б, в, г — нестационарные типов I —III

Для описания характера протекания случайной функции ис­пользуется корреляционная функция К (t₁ t₂), характеризую-

щая степень связи (корреляции) между значениями случайного процесса в моменты времени t₁ и t₂, или ее нормированная величина

ρ (t1,t2) = K(t1,t2)/lσ(t1). σ (t2)].

Для анализа частотного свойства случайного процесса наряду с корреляционной функцией применяют также спектральную плотность 5 (ω). Случайные процессы нагружения машин по их зависимости от начала отсчета времени могут быть разделены (см. рис. 6.23) на стационарные и нестационарные. К стационар­ным относят процессы, статистические характеристики которых M и D не зависят от начала отсчета времени, а корреляционная функция К не зависит от положения точек t₁ и t₂ на оси времени, а зависит лишь от разности t2 — t1 — τ· Стационарные случайные процессы (рис. 6.23, а) могут быть эргодическими и неэргодиче-скими. Для эргодических процессов среднее по времени совпадает со средним по множеству реализаций Х_г (t), а корреляционная функция зависит лишь от разности времени точек на оси времени t1 — t1 — τ· Д^ля эргодического стационарного случайного про­цесса основные характеристики могут быть записаны при вре­мени T наблюдения в виде

(6.86)

Анализ нагрузок в узлах машины (см. рис. 6.1—6.4) показы­вает, что в общем случае они являются нестационарными случай­ными процессами, которые можно разделить на три основных типа (рис. 6.23, б—г): I — процесс, математическое ожидание которого зависит от времени, а дисперсия постоянна; II — про­цесс, дисперсия которого изменяется во времени, а математиче­ское ожидание постоянно; III — процесс, в котором и математи­ческое ожидание и дисперсия зависят от времени.

При проведении анализа нестационарных случайных процес­сов применяют первоначальное центрирование флюктуации (вы­сокочастотных составляющих) или выделение тренда (низкоча­стотных составляющих) и нормирование (стационаризацию) слу­чайных флюктуации для типов II и III и дальнейший их раздель­ный анализ. Рассматриваемые нестационарные процессы можно представить в виде суммы флюктуации Xф и трендов Х_т, т. е. Χ = Χ_T + Х_ф.

Для выделения трендов и центрирования флюктуации чаще всего пользуются методом построения огибающих (см. рис. 6 23)

Флюктуации случайного процесса типа I являются стационар­ными, типов II и III — нестационарны по дисперсии. Они подле­жат нормированию путем преобразования: для процесса типа II флюктуацию можно представить в виде Х_ф = Х₀Хфн (где Х₀ — средняя (огибающая) процесса, равная (| Х₀₁| + | X₀₂|)/2; Х_фн —· нормированная флюктуация); для процесса типа III обычно флюк­туация имеет функциональную зависимость от значения тренда Х_т:

Хф = X_тX_фн.

Статистические характеристики внешних нагрузок обычно получают экспериментально при испытаниях натурных машин и макетных образцов. Результаты таких экспериментов могут быть распространены на класс близких по назначению и конструктив­ному исполнению машин. Анализ нагрузок в машинах для земля­ных работ показывает, что для определения статистических характеристик трендов нагрузок на рабочих органах машин в большинстве случаев экспериментально бывает необходимо определять лишь коэффициенты вариации его временной ампли­туды ψ_T. Остальные его данные (вид, параметры) можно определить из анализа возможных режимов работы машин. Если отсутствуют конкретные экспериментальные данные ψ_T для рассчитываемого класса машин, то в зависимости от однородности свойств разраба­тываемых грунтов и пород ориентировочно можно принимать следующие значения: для однородных грунтов 0,08—0,12, для грунтов со средней однородностью свойств 0,15—0,2 и для неодно­родных грунтов (плохо взорванные породы и т. п.) 0,22—0,26 [32,33].

Основными факторами, определяющими статистические харак­теристики флюктуации нагрузок на рабочих органах машин, являются прочность разрабатываемых грунтов и конструкция режущего периметра рабочего органа. Коэффициенты вариации флюктуации сопротивлений на рабочих органах машин по мере увеличения прочности разрабатываемых грунтов растут и изме­няются в пределах от ψ_Ф = 0,08—0,12 для грунтов с пределом прочности на одноосное сжатие 0,05—0,2 МПа до ψ_Ф = 0,15—0,20 при прочности 5—10 МПа. При разработке взорванных скальных грунтов и мерзлых грунтов значения ψ_Ф достигают 0,24—0,32. Статистический характер кинематического воздействия на дви­жители машин со стороны дороги рассмотрен в п. 6.2.1.

Зная статистические характеристики внешних нагрузок и характеристики машин для земляных работ как упругих динами­ческих систем, могут быть определены статистические характе­ристики нагрузок в упругих элементах конструкции машин.

В линейной постановке для стационарных динамических си­стем, когда функция реакции системы на любое возмущение не зависит от времени, основной их динамической характеристикой является передаточная функция

Φ (S) = X (S)/F (S), (6.87)

где F (S) — функция входа; X (S) — функция выхода.

Рис 6 24. Схема к методике анализа колебаний и динамических нагрузок при движении колесных землеройных транспортных машин

При единичном воздействии на динамическую систему F (S) = = е^-lωt функция выхода

Χ = Φ(ίω)е^-iωt. (6.88)

Если входная функция задана спектральной плотностью S_F (ω), то спектральная плотность выхода

S(ω) = |Φ(ω)|²S_F(ω), (6.89)

Дисперсия процесса X (t)

(⁶·⁹⁰)

На рис. 6.24 в качестве примера приведена методика решения задач по анализу колебаний и определению динамических на­грузок в колесных землеройно-транспортных машинах в транс-

п ортных режимах — методами статистической динамики с при- менением ЭВМ. |

Задача по этой схеме рас- ' падается на три самостоятель­ных этапа.

Рис. 6.25. Функции спектральной плот­ности ускорений кресла водителя са­моходного скрепера

На первом этапе (рис. 6.24,а) реальные свойства микронеров­ностей дорог q (t), определен­ные в условиях строительных объектов с помощью специаль­ной передвижной лаборатории, подвергают статистическому [корреляционному ρ (t) и спектральному S (ω)] анали­зу. В результате этого анали­за можно сформировать стати­стически адекватную модель воз­мущающих воздействий на ма­шину со стороны дороги. Второй этап (рис. 6.24, б) — составле­ние расчетной схемы машины как упругой динамической системы, ее математическое описание в виде системы уравнений и решение их с помощью ЭВМ при действии статистических возмущений со стороны дороги. Третий этап (рис. 6.24, б) — сравнительный ана­лиз на ЭВМ по всем анализируемым конструктивным схемам машины с оптимизацией их по определенным параметрам, обеспе­чивающим одновременно удовлетворение совокупности критериев ограничений.

Примеры, характеризующие некоторые результаты таких рас­четов, приведены на рис. 6.5 и 6.25.

На рис. 6.25 показан полученный расчетом характер измене-' ния функции спектральной плотности ускорений колебаний кресла водителя скрепера без подрессоривания кабины (кривая 1), с подрессориванием кабины и гидравлическим амортизатором (кривая 2) и с дополнительным динамическим гасителем колебаний кресла водителя (кривая 3). Эти кривые наглядно показывают, насколько существенным может быть снижение ускорений коле­баний кресла водителя применением как амортизации подвески всей кабины, так и динамического гасителя для кресла водителя.