![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава VII
- •§ 43. Эйлеровы графы
- •Глава VIII
- •§ 45. Графическая последовательность
- •§ 46. Критерии графичности последовательности
- •§ 47. Реализация графической последовательности с максимальной связностью
- •§ 48. Гамильтонова реализация графической последовательности
- •§ 49. Расщепляемые графы
- •§ 50. Пороговые графы
- •§ 51. Пороговое разложение графа
- •§ 52. Степенное множество графа
- •Глава IX
- •§ 53. Правильная раскраска
- •§ 54. Оценки хроматического числа
- •§ 56. Раскраска ребер
- •§ 57. Связь матроидных разложений графов с раскрасками
- •§ 58. Раскраска планарных графов
- •§ 59. Проблема четырех красок
- •§ 60. Другие подходы к раскраске графов
- •§ 61. Совершенные графы
- •§ 62. Триангулированные графы
- •Глава X Ориентированные графы
- •§ 63. Основные определения
- •§ 64. Полустепени исхода и полустепени захода
- •§ 65. Обходы
- •§ 66. Пути
- •§ 67. База и ядро
- •Глава XI
- •§ 68. Основные определения и свойства
- •§ 69. Независимые множества
- •§ 70. Раскраски
- •§ 71. Реализации гиперграфа
- •Глава XII
- •§ 72. Предварительные сведения
- •§ 73. Поиск в глубину
- •§ 74. Отыскание двусвязных компонент
- •§ 75. Минимальный остов
- •§ 76. Кратчайшие пути
- •§ 77. Наибольшие паросочетания и задача о назначениях
- •§ 78. Труднорешаемые задачи
§ 51. Пороговое разложение графа
Поскольку граф с одним ребром является пороговым, то любой граф G можно представить в виде объединения
G = G1 U G2 U ... U Gt
пороговых графов G, с совпадающими множествами вершин. Назовем такое представление пороговым разложением графа G. Минимальное число t компонент в пороговых разложениях графа G назовем пороговым числом графа G и обозначим через th(G).
Параметр th(G) связан с минимизацией числа линейных неравенств, задающих булеву функцию. Рассмотрим эту связь. Пусть
—
система
линейных неравенств с вещественными
коэффициентами
и правыми частями, В
— {0,
1}, Вп
—
множество
всех бинарных векторов (х1
,х2
,..,
хп)
длины
п.
Определим
булеву функцию ƒ: Вп->В,
положив
f
(х1
,х2
,..,
хп)
= 0 тогда
и только тогда, когда вектор (х1
,х2
,..,
хп)
удовлетворяет
системе (1). Будем говорить, что функция
f
определяется системой неравенств (1).
Тем самым
множество нулей булевой функции,
определяемой системой
линейных неравенств, совпадает с
множеством (0,
1)-решений этой системы.
Теорема 51.1. Любая булева функция определяется некоторой системой линейных неравенств.
Известно, что всякая булева функция ƒ от п переменных может быть задана своей совершенной дизъюнктивной нормальной формой (совершенной д. н. ф.):
г
де
(σ1, σ2, ... , σn)
пробегает множество всех единиц
функции
ƒ,
(см., например, [32]).
Л
егко
видеть, что каждая конъюнкция g
вида
о
пределяется
одним линейным неравенством. В самом
деле,
пусть, для определенности,
Р
ассмотрим
неравенство
Бинарный вектор х = (х1 ,х2 ,.., хп) не удовлетворяет этому неравенству только при условиях
х1= х2 = …= хп =1
Н
о
эти же условия необходимы и достаточны
для того, чтобы
вектор х
был
единицей функции ƒ. Аналогично,
конъюнкция
о
пределяется
неравенством
Итак, каждая элементарная конъюнкция, входящая в совершенную д. н. ф. функции ƒ, определяется одним линейным неравенством. Очевидно, что функция ƒ определяется системой этих неравенств.
Минимальное число t неравенств в системах, задающих функцию ƒ, называется пороговым числом функции ƒ и обозначается через t(f). Если функция ƒ графическая, т. е. ƒ = 0 или ƒ — монотонная булева функция, все нижние единицы которой имеют норму 2, то, как показано в 28, этой функции соответствует граф G t , множество характеристических векторов независимых подмножеств вершин которого совпадает с множеством нулей функции ƒ.
Теорема 51.2. Для любой графической функции f верно равенство
t(f) = th(Gt). (2)
Пусть ƒ — графическая функция,
Gt = Gi U G2 U ... U Gt
п
ороговое
разложение графа Gt.
Тогда
система fGt
всеx
независимых подмножеств вершин графа
Gt
есть
пересечение
Аналогичных систем для пороговых графов Ga. Множество характеристических векторов элементов системы fGa совпадает с множеством бинарных решений линейного неравенства, являющегося разделяющим для графа Ga. Из неравенства (3) следует, что множество бинарных решений системы из t таких неравенств есть множество характеристических векторов элементов из fGf, т. е. множество нулей функции f. Следовательно, эта система неравенств задает функцию f, и потому t(f) ≤ t. Итак, t(f) ≤ th(Gi).
О
братно,
пусть функция f
задается некоторой системой
линейных неравенств (1). Следующим образом
построим
t
графов
G'h
(k
= 1, t)
: VG'h
=
{1,2, ...,n},
ij
€
EG'h
тогда
и только тогда, когда i
≠ j
и
αki
+ αkj
>
βk.
Очевидно ,
что
Предположим,
что какой-либо из графов G'h
не
является
пороговым. Тогда в нем есть порожденный
подграф, запрещенный
следствием 50.3; пусть это подграф,
показаный
на рис. 50.2, где пунктирные линии означают
отсутствие
соответствующих ребер. Из определения
графа G'h
следует, что
то последняя система неравенств противоречива, следовательно, G'h — пороговый граф. Итак, (3')—пороговое разложение графа Gf. Поэтому th(Gf) ≤ t и, следовательно, th(Gf) ≤ t(f). Равенство (2) доказано.
Вычисление порогового числа произвольного графа G и, тем более, построение соответствующего порогового разложения графа — крайне трудные задачи. Пороговое число можно оценить с помощью числа независимости ao(G), однако последнее так же трудно вычислимо.
Т
еорема
51.3 (В. Хватал, П. Хаммер, 1977 г.). Для
любого
непустого графа G
порядка п верно неравенство
Пусть S — наибольшее независимое множество вершин графа G%
VG\S = {u1 ,u2, ..., uh}.
О
бозначим
через Ei
множество
ребер графа G,
инцидентных
вершине ui
(i
=
1, k).
Поскольку
ребра, входящие в
Еi,
составляют
звезду, являющуюся согласно теореме
50.9 пороговым графом, то и граф Gi
= (VG,
Еi
)
пороговый.
Но
С
ледовательно,
(6) — пороговое разложение графа G.
Поэтому
th(G)
≤
k=
п — ao
(G),
т. е. верно неравенство (4). Пусть
теперь в графе G
нет
треугольников и пусть
— пороговое разложение с минимальным числом компонент. В пороговом графе G< также нет треугольников. Из теоремы 50.9 следует поэтому, что граф Gi является звездой или получается из звезды в результате присоединения изолированных вершин. В любом случае в графе Gi есть вершина ui инцидентная всем его ребрам. Так как U EGi = EG, то множество VG\{ u1 , u2, ..., ut) независимо в графе G. Следовательно, ao(G) ≥ n — th(G), что вместе с неравенством (4) приводит к равенству (5).
Заметим, что равенство (5) может быть верным и для графа с треугольниками. Таков, например, граф на с. 51.1.
Поскольку для любого n-вершинного графа G верно равенство ao(G)+ β0(G) = n (теорема 25.5), где βo(G)— число покрытия графа G, то из предыдущей теоремы вытекает
Следствие 51.4. Для любого графа G, не содержащего треугольников, верно равенство th (G)= βo(G).
В частности, любой двудольный граф не содержит треугольников. Кроме того, для двудольного графа G верно равенство (G) = a1(G), где a1(G) — число паросочетания (теорема 32.1). Поэтому из теоремы 51.3 вытекает
Следствие 51.5. Для любого двудольного графа G верно равенство th(G) = a1(G).
Таким образом, в классе двудольных графов параметр (G) вычисляется несложно.