- •Глава VII
- •§ 43. Эйлеровы графы
- •Глава VIII
- •§ 45. Графическая последовательность
- •§ 46. Критерии графичности последовательности
- •§ 47. Реализация графической последовательности с максимальной связностью
- •§ 48. Гамильтонова реализация графической последовательности
- •§ 49. Расщепляемые графы
- •§ 50. Пороговые графы
- •§ 51. Пороговое разложение графа
- •§ 52. Степенное множество графа
- •Глава IX
- •§ 53. Правильная раскраска
- •§ 54. Оценки хроматического числа
- •§ 56. Раскраска ребер
- •§ 57. Связь матроидных разложений графов с раскрасками
- •§ 58. Раскраска планарных графов
- •§ 59. Проблема четырех красок
- •§ 60. Другие подходы к раскраске графов
- •§ 61. Совершенные графы
- •§ 62. Триангулированные графы
- •Глава X Ориентированные графы
- •§ 63. Основные определения
- •§ 64. Полустепени исхода и полустепени захода
- •§ 65. Обходы
- •§ 66. Пути
- •§ 67. База и ядро
- •Глава XI
- •§ 68. Основные определения и свойства
- •§ 69. Независимые множества
- •§ 70. Раскраски
- •§ 71. Реализации гиперграфа
- •Глава XII
- •§ 72. Предварительные сведения
- •§ 73. Поиск в глубину
- •§ 74. Отыскание двусвязных компонент
- •§ 75. Минимальный остов
- •§ 76. Кратчайшие пути
- •§ 77. Наибольшие паросочетания и задача о назначениях
- •§ 78. Труднорешаемые задачи
§ 47. Реализация графической последовательности с максимальной связностью
В зависимости от выбора ведущих вершин l-процедура может строить различные реализации графической последовательности. Ее можно организовать так, чтобы она строила реализации с некоторыми предписанными свойствами, если, конечно, такие реализации существуют. Ниже показано, как с помощью l-процедуры построить такую реализацию G графической последовательности, число λ(G) реберной связности которой максимально среди всех реализаций.
Пусть d — правильная графическая n-последовательность. Поскольку λ(G)≤ δ(G) для любого графа G (δ(G)—минимальная степень вершин), то мы стремимся построить реализацию G последовательности d с λ(G)=dn.
Вначале построим просто связную реализацию.
Т еорема 47.1. Правильная графическая п-последователъностъ d может быть реализована связным графом тогда и только тогда, когда dn > 0 и верно неравенство
Если указанные условия выполняются, то 1-процедура, на каждом шаге которой ведущей является вершина с минимальной положительной меткой, приводит к связному графу.
Замечание. При dn > 1 неравенство (1) выполняется автоматически.
Необходимость условий теоремы очевидна. В самом деле, связный граф порядка п не имеет изолированных вершин и число ребер в нем не менее п—1. Из леммы о рукопожатиях вытекает неравенство (1).
Достаточность докажем индукцией по длине последовательности d. При п = 2 условиям теоремы удовлетворяет только одна последовательность d=(12). Реализацией этой последовательности служит связный граф К2, стало быть, для п = 2 теорема верна. Пусть теперь п > 2 и доказываемое утверждение верно для графических последовательностей, длины которых меньше п. Отдельно рассмотрим два случая: 1) dn = 1, 2) dn> 1.
1 ) dn = l. Так как n>2, то из неравенства (1) вытекает, что d1 > 1. Рассмотрим производную последовательность
то последовательность dn удовлетворяет условиям теоремы.
2) d n>1. Снова будем различать две ситуации:
a) ddn = 2 и б) ddn>2.
В ситуации а) из условий теоремы следует, что
dn = 2, d2 = 2, d = (m, 2n-1), m > 2.
Для производной последовательности dn имеем
dn=(f1 ,f2 , ...,fn-1) = (m-1, 1,2n-3),
В ситуации б) для производной последовательности dn получаем
И так, в любой ситуации производная последовательность dn удовлетворяет условиям теоремы и по индуктивному предположению имеет связную реализацию Я, получаемую в результате описанной в формулировке теоремы l-процедуры. Добавив к графу Н новую вершину, смежную с вершинами степеней f1 ,f2 , ...,fdn получим связную реализацию последовательности d.
Аналогично доказывается
Т еорема 47.2. п-последователъностъ d может быть реализована деревом тогда и только тогда, когда она не содержит нулей и верно равенство
При выполнении указанных условий l-процедура построит реализацию последовательности d деревом, если на каждом шаге выбирать в качестве ведущей вершину с минимальной положительной меткой.
. На рис. 47.1 показана Z-процедура, строящая дерево, которое является реализацией последовательности d = = (32, 2, 14).
Перейдем к графам с более высоким числом реберной связности. Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема 47.3 (Д. Уэнг, 1976 г.). Каждая правильная графическая п-последователъностъ d с dn > 1 имеет ализацию, число реберной связности которой равно dn .Такая реализация строится l-процедурощ на каждом шаге которой ведущей является вершина с минимальной положителъной меткой .
■+7
-•б
С числом вершинной связности дело обстоит сложнее. Известно, что правильная графическая n-последовательность d может быть реализована графом с числом вершинной связности dn или dn — 1, причем соответствующую реализацию также можно получить посредством
L - процедуры. Однако доказательство этого факта и описание выбора ведущих вершин достаточно громоздки и потому здесь не приводятся.