- •Глава VII
- •§ 43. Эйлеровы графы
- •Глава VIII
- •§ 45. Графическая последовательность
- •§ 46. Критерии графичности последовательности
- •§ 47. Реализация графической последовательности с максимальной связностью
- •§ 48. Гамильтонова реализация графической последовательности
- •§ 49. Расщепляемые графы
- •§ 50. Пороговые графы
- •§ 51. Пороговое разложение графа
- •§ 52. Степенное множество графа
- •Глава IX
- •§ 53. Правильная раскраска
- •§ 54. Оценки хроматического числа
- •§ 56. Раскраска ребер
- •§ 57. Связь матроидных разложений графов с раскрасками
- •§ 58. Раскраска планарных графов
- •§ 59. Проблема четырех красок
- •§ 60. Другие подходы к раскраске графов
- •§ 61. Совершенные графы
- •§ 62. Триангулированные графы
- •Глава X Ориентированные графы
- •§ 63. Основные определения
- •§ 64. Полустепени исхода и полустепени захода
- •§ 65. Обходы
- •§ 66. Пути
- •§ 67. База и ядро
- •Глава XI
- •§ 68. Основные определения и свойства
- •§ 69. Независимые множества
- •§ 70. Раскраски
- •§ 71. Реализации гиперграфа
- •Глава XII
- •§ 72. Предварительные сведения
- •§ 73. Поиск в глубину
- •§ 74. Отыскание двусвязных компонент
- •§ 75. Минимальный остов
- •§ 76. Кратчайшие пути
- •§ 77. Наибольшие паросочетания и задача о назначениях
- •§ 78. Труднорешаемые задачи
§ 64. Полустепени исхода и полустепени захода
Пусть G — ориентированный граф и v VG. Множество концов всех дуг, исходящих из вершины v, обозначается через Г (у), а множество начал всех дуг, заходящих в v — через Г-1(v).
Полустепенъю исхода d+(v) вершины v называется число дуг, исходящих из v, т. е. d+(v)= /Г(v)/ I. Аналогично определяется полустепень захода d-(v) вершины v: d-(v)=/Г-1(v)/.
Степень deg v вершины v орграфа — это число инцидентных ей дуг:
Для произвольной бинарной m X n-матрицы А вектор сА = { с1, с2, ..., сm), i-я координата сi которого равна числу единиц в i-й строке этой матрицы, называется вектором строчных сумм. Аналогично определяется вектор столбцевых сумм dA = (d1, d2, ..., dn): координата dt равна числу единиц в i-м столбце. Очевидно, что
(1)
поскольку каждая из этих сумм равна числу всех единиц матрицы А.
Если А = A (G) — матрица смежности орграфа G, то
г. е. число единиц в i-й строке матрицы A(G) равно полустепени исхода i-й вершины, а число единиц в j-м cтолбце равно полустепени захода j-й вершины. Таким oбразом, для A — A (G) имеем
Поэтому верно следующее утверждение, являющееся аналогом леммы о рукопожатиях.
Утверждение 64.1. Сумма полустепеней исхода icex вершин орграфа равна сумме полустепеней захода и швна числу его дуг:
Нетрудно убедиться в том, что равенство (1) не является достаточным условием для существования бинарной n X m-матрицы А с векторами строчных сумм сА и столбовых сумм dA. Например, нет матрицы А, для которой сА = (3,0), dA=(2, 1).
Пара векторов с = (с1, с2, ..., сm), d = (d1, d2, ..., dn) целыми неотрицательными координатами называется графической, если существует бинарная m X w-матрица А, для которой сА = с, dA = d. Если истолковывать эту матрицу как приведенную матрицу смежности двудольного графа, то вектор сА окажется списком степеней вершин того графа, принадлежащих одной доле, а вектор dA — списком степеней вершин другой доли, так что условия графичности пары векторов являются условиями существования соответствующего двудольного графа — реализации этой пары. Этим и объясняется термин «графическая пара векторов».
При m = п ту же матрицу А можно истолковывать как матрицу смежности орграфа, и тогда условия графичности пары векторов станут условиями существования ориентированного графа с заданными списками полустепеней схода и полустепеней захода вершин.
Критерий графичности пары векторов устанавливается следующей теоремой.
Теорема 64.2. Пара векторов с = (с1, с2, ..., сm), d = (d1, d2, ..., dn) (2)
является графической тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
1) последовательность
(с1 + m - 1, с2 + m - 1, ..., сm + m - 1, d1 , d2, ..., dn) (3)
графическая;
2)
> Очевидно, что пара векторов (2) реализуется двудольным графом тогда и только тогда, когда последовательность (3) реализуется расщепляемым графом, для которого (с1 + m - 1, с2 + m - 1, ..., сm + m - 1) и (d1 , d2, ..., dn) — списки степеней вершин верхней и нижней долей соответственно. Поэтому доказываемое непосредственно вытекает из критерия расщепляемости графической последовательности (утверждение 49.3). <
Коснемся вопроса о реконструируемости орграфов. Гипотезу Келли — Улама для ориентированных графов можно попытаться сформулировать так же, как и для неориентированных. Но для орграфов эта гипотеза не верна.
П. Стокмейер (1977, 1981 гг.) нашел несколько семейств нереконструируемых орграфов. Одно из них состоит из сильных турниров специального вида. Два нереконструируемых турнира изображены на рис. 64.1. Ф. Харари и Е. Палмер доказали (1967 г.), что любой турнир, не являющийся сильным, реконструируем.
А. Рамачандран предложил новый вариант гипотезы реконструируемости для орграфов. Пусть G — ориентированный граф. Вместе с каждым подграфом GV = G — v, будем рассматривать упорядоченную пару (d+(v), d-(v)) полустепеней исхода и захода вершины v. Орграф G назовем N-реконструируемым, если он определяется с точностью до изоморфизма набором {(Gv, d+(v), d-(v)}.
Гипотеза Рамачандрана (1981 г.). Любой орграф N-реконструируем.
Эта гипотеза пока не доказана и не опровергнута.