![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава VII
- •§ 43. Эйлеровы графы
- •Глава VIII
- •§ 45. Графическая последовательность
- •§ 46. Критерии графичности последовательности
- •§ 47. Реализация графической последовательности с максимальной связностью
- •§ 48. Гамильтонова реализация графической последовательности
- •§ 49. Расщепляемые графы
- •§ 50. Пороговые графы
- •§ 51. Пороговое разложение графа
- •§ 52. Степенное множество графа
- •Глава IX
- •§ 53. Правильная раскраска
- •§ 54. Оценки хроматического числа
- •§ 56. Раскраска ребер
- •§ 57. Связь матроидных разложений графов с раскрасками
- •§ 58. Раскраска планарных графов
- •§ 59. Проблема четырех красок
- •§ 60. Другие подходы к раскраске графов
- •§ 61. Совершенные графы
- •§ 62. Триангулированные графы
- •Глава X Ориентированные графы
- •§ 63. Основные определения
- •§ 64. Полустепени исхода и полустепени захода
- •§ 65. Обходы
- •§ 66. Пути
- •§ 67. База и ядро
- •Глава XI
- •§ 68. Основные определения и свойства
- •§ 69. Независимые множества
- •§ 70. Раскраски
- •§ 71. Реализации гиперграфа
- •Глава XII
- •§ 72. Предварительные сведения
- •§ 73. Поиск в глубину
- •§ 74. Отыскание двусвязных компонент
- •§ 75. Минимальный остов
- •§ 76. Кратчайшие пути
- •§ 77. Наибольшие паросочетания и задача о назначениях
- •§ 78. Труднорешаемые задачи
§ 48. Гамильтонова реализация графической последовательности
В этом параграфе будет показано, как с помощью гроцедуры построить реализацию графической последо-тельности, обладающую гамильтоновой цепью или гамильтоновым циклом, если такие реализации существуют.
В формулировке следующего утверждения используется обозначение S(v), введенное в § 46.
Теорема 48.1 (В. Чангфейзен, 1978 г.). Если существует реализация правильной п-последователъности d,имеющая гамильтонову цепь с началом в вершине степени di , то к такой реализации приведет l-процедура, на первом шаге которой ведущей является вершина степени di, а на каждом из последующих — вершина с минимальной положительной меткой из множества S(v), где v — вершина, ведущая на предыдущем шаге.
Доказательство этой теоремы требует перебора возможных вариантов и потому громоздко; здесь оно опускается.
Перейдем к построению гамильтоновой реализации. Оно основано на следующей теореме.
Теорема 48.2 (В. Чангфейзен, 1978 г.). Для того чтобы правильная п-последователъность d имела реализацию в виде гамильтонова графа, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий.
d
i > 1, 1 = 1, п;
существует реализация последовательности d, имеющая гамильтонову цепь с началом в вершине степени di.
Необходимость условия теоремы тривиальна, докажем достаточность. Пусть G — реализация последовательности d, имеющая гамильтонову цепь (v1 ,v2 ,...,vn) с началом в вершине v1 степени d1. Если v1vn € EG, то (v1 ,v2 ,...,vn ,v1) — гамильтонов цикл.
Пусть v1vn ¢ EG. Тогда вершина vn смежна с какой-либо вершиной vi , где 1< i <n — 1. Рассмотрим вершину vi+1 . Если v1vi+1 € EG, то
(v1 ,v2 ,... ,vi ,vn ,vn-1 ,.., vi+1 ,v1)
— гамильтонов цикл. Пусть теперь vivi+1 ¢ EG. Поскольку вершина vi смежна как с vi+1 , так и с vn, а вершина v1 не смежна ни с vi+1 , ни с vn , хотя deg v1 ≥
≥ deg
vi
,
то
существует такая вершина vk,
что
k
≠ 2,
vivk
€ EG,
vivk
¢ EG.
Но
тогда граф G
допускает
переключение s
= (vivk
,
vi+1vi).
Граф sG
имеет
гамильтонов цикл
(v1 ,v2 ,... ,vi ,vn ,vn-1 ,.., vi+1 ,v1)
(рис. 48.1).
На рис. 48.2 показана процедура построения гамильтоновой реализации последовательности (З2, 24). Получен граф G с гамильтоповой цепью (1, 3, 2, 5, 6, 4); (1, 3, 2, 5, 6, 4, 1)— гамильтонов цикл.
§ 49. Расщепляемые графы
Некоторые свойства графов полностью определяются стененными последовательностями, т. е. либо присущи всем реализациям степенной последовательности, либо и одной из них. Одно из таких свойств — расщепляемость.
Граф G называется расщепляемым, если существует разбиение множества его вершин на клику и независимое множество, т. е. такое разбиение
AUB = VG, (1)
что порожденный подграф G(A) является полным, G(B)—пустым. Это разбиение называется полярным. Множество А называется верхней долей графа G, а В — нижней; одна из этих долей может быть пустой.
Как подтверждает простая проверка, все графы порядка п ≥ 3 расщепляемы, но уже среди четырехвершинных графов есть и расщепляемые и не расщепляемые.
Для правильной графической последовательности d преведем параметр m(d), положив
т(d) = max {i: di ≥ i—l}.
Например, m(d)=3 для d = (42, 22, I2).
Теорема 49.1 (П. Хаммер, Б. Симеоне, 1981 г.). Пустъ d — правильная графическая п-последовательностъ, G — ее произвольная реализация. Граф G расщепляем тогда и только тогда, когда верно равенство
г
де
m
= m(d).
Пусть G — расщепляемый граф. Среди всех полярных разбиений множества VG выберем разбиение (1) с максимальным числом вершин в верхней доле. Очевидно, что если а € А, b € В и IАI = k, то deg а ≥ k — 1, deg b < k. Следовательно, m = к. Поскольку G (А) = Кт, G(В) = Оп-m , то верно равенство (2).
О
братно,
пусть для некоторого графа G
VG
=
{1, 2, ... ..,
п},
deg
i
= di.
Положим
A
= {1, 2, ..., т},
В
=
{m
+ l,
..., п)
и
сумму степеней вершин из А
разобьем
на две части:
г
де
С
—
вклад, вносимый в эту сумму ребрами вида
а1а2
,
аi
€ А, а
D
— тот вклад, который вносят ребра вида
ab,
а
€ А, b
€ В. Очевидно,
что верны неравенства
Равенство (2) верно только тогда, когда оба неравенства (3) являются равенствами. Но это и означает, что G(A) = Кт , G(B) = Оп-т.
Очевидно
Следствие 49.2. Если одна из реализаций графической последовательности расщепляема, то и все ее реализации расщепляемы.
Графическая последовательность называется расщепляемой, если она имеет расщепляемую реализацию.
При доказательстве достаточности выполнения условия (2) для расщепляемости графической последовательности d не были использованы ни смысл параметра m(d), ни то, что последовательность d не возрастает. Поэтому верно
Утверждение 49.3. Для расщепляемости графической п-последователъности d необходимо и достаточно, чтобы для какого-либо m, l≤m≤n, выполнялось равенство (2).
Расщепляемые графы составляют важный и содержательный класс графов. В частности, он включает в себя все пороговые графы, рассматриваемые в следующем параграфе. Некоторые задачи, сложные в общей ситуации (например, задача построения наибольшего независимого множества), становятся тривиальными в классе расщепляемых графов. Другие задачи для этого класса графов столь же сложны, как и для произвольных графов. Известно, например, что проблема изоморфизма произвольных графов просто сводится к аналогичной проблеме для расщепляемых графов (см. [18]).
Характеризация расщепляемых графов в терминах запрещенных порожденных подграфов приведена в § 62.