§ 57. Связь матроидных разложений графов с раскрасками

Отметим простые связи, существующие между матро-идными разложениями графов и раскрасками. Напомним, что матроидным разложением графа G называется пред­ставление его в виде объединения

G = G₁ U G₂ U ... U G_μ

М-графов, т. е. графов, все связные компоненты которых суть полные графы; минимальное число μ компонент в матроидных разложениях графа G — матроидное чис­ло μ(G).

З афиксируем правильную раскраску ребер графа G и рассмотрим разбиение множества ребер на цветные классы:

Очевидно, что граф G_i для которого VG_i = VG, EG_i = E_i, является M-графом, и

G = G₁ U G₂ U ... U G_k (2)

— матроидное разложение. Итак, разбиение на цветные классы (1) определяет матроидное разложение (2) гра­фа G. Тем самым доказано

Утверждение 57.1. Для любого графа G верно неравенство

μ(G)<χ’(G)

Учитывая это неравенство и теорему 56.3, получаем

Утверждение 57.2. Если граф G не содержит тре­угольников, то

μ(G)<χ’(G)

Для любого двудольного графа G верно равенство

μ(G) = Δ(G).

Если граф G не содержит треугольников, то его реберный граф L(G) и граф клик Q(G) могут разли­чаться только изолированными вершинами. Следователь­но, если χq(G)—хроматическое число графа Q(G), то χq(G) = χ’(G), так что для графа G без треугольников μ(G)=χq(G) = χ’(G). Применяя теорему 56.3, получим второе равенство.

Для матроидного числа произвольного графа хрома­тическое число его графа клик является верхней грани­цей. А именно, верно

У тверждение 57.3. Для любого графа G справед­ливо неравенство

Подграф, порожденный в G объединением клик, входящих в один цветной класс при правильной вершин­ной раскраске графа клик Q(G), является M-графом, по­скольку все его связные компоненты — полные графы. Следовательно, если

V₁U V₂ U...U V_k = VQ(G)

— разбиение на цветные классы множества вершин гра­фа клик, a Gi получается из порожденного подграфа G(V_i) в результате присоединения всех вершин из VG\ V_i как изолированных, то G = G₁ U G₂ U ... U G_k — матроидное разложение. Тем самым неравенство (3) доказано.

В качестве иллюстрации рассмотрим граф G, изобра­женный на рис. 57.1; для него Q(G) = K₄, χ q(G) = χ’(G)=4, μ(G)=3.

Утверждение 57.4. Для произвольного графа G равенства μ(G) = 2 и χq(G) = 2 равносильны.

Если χq(G) = 2, то μ(G) ≤ 2. Но при μ(G) =1 ни­какие две максимальные клики графа G не пересекают­ся, и потому Q(G)—пустой граф, χq(G) =1. Итак, при χ(G) = 2и μ(G) = 2.

О стается доказать истинность импликации

Доказательство основано на следующей очевидной комбинаторной лемме.

Лемма 57.5. Пусть S — конечное множество, каждо­му из элементов которого приписан один из двух фикси­рованных цветов или оба эти цвета. Если для любой пары элементов множества S существует общий приписанный им цвет, то тогда и все элементы множества имеют об­щий приписанный им цвет.

Пусть теперь

G = G₁ U G₂ (5)

— матроидное разложение графа G. Достаточно доказать, что любой полный подграф графа G целиком содержится в каком-либо из G_i; если это так, то разложение (5) определяет правиль­ную 2-раскраску графа клик и истин­ность импликации (4) доказана.

Каждому из ребер графа G следую­щим образом припишем один из цве­тов {1, 2} или оба эти цвета. Именно, всем ребрам графа G_i (i = l, 2) при­писывается цвет i. Пусть теперь Q — клика графа G, e_ue₂ € EG(Q).

Если ребра е₁ и е₂ смежны, то в порожденном под­графе G(Q) существует третье ребро е, смежное с ними обоими. Какие-то два из этой тройки ребер имеют общий цвет, поскольку цветов только два. Но концы этих трех ребер вместе входят в одну из связных компонент гра­фа Gi, являющихся полными графами, следовательно, а третье ребро имеет тот же цвет. Итак, для любой пары смежных ребер графа G(Q) существует общий приписан­ный им цвет.

Если же ребра е₁ = u₁v₁ и е₂ = u₂v₂ не смежны, то в графе G(Q) есть еще четыре ребра е₃ = u₁u₂, е₄ = v₁v₂, е₅ = u₁v₂, е₆= v₁u₂. Для каждой пары смежных из этих ребер существует общий цвет, откуда очевидно вытека­ет, что существует цвет, общий для ребер е₁ и е₂.

Доказано, что любые два ребра графа G(Q) имеют общий цвет. В силу леммы 57.5 существует общий цвет, например 1, приписанный всем ребрам графа G(Q). По­следнее означает, что G(Q) содержится в одной из ком­понент графа G₁.

Из утверждения 57.4 вытекает

Следствие 57.6. Если χ(G) = 3, то и μ(G) = 3.