![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава VII
- •§ 43. Эйлеровы графы
- •Глава VIII
- •§ 45. Графическая последовательность
- •§ 46. Критерии графичности последовательности
- •§ 47. Реализация графической последовательности с максимальной связностью
- •§ 48. Гамильтонова реализация графической последовательности
- •§ 49. Расщепляемые графы
- •§ 50. Пороговые графы
- •§ 51. Пороговое разложение графа
- •§ 52. Степенное множество графа
- •Глава IX
- •§ 53. Правильная раскраска
- •§ 54. Оценки хроматического числа
- •§ 56. Раскраска ребер
- •§ 57. Связь матроидных разложений графов с раскрасками
- •§ 58. Раскраска планарных графов
- •§ 59. Проблема четырех красок
- •§ 60. Другие подходы к раскраске графов
- •§ 61. Совершенные графы
- •§ 62. Триангулированные графы
- •Глава X Ориентированные графы
- •§ 63. Основные определения
- •§ 64. Полустепени исхода и полустепени захода
- •§ 65. Обходы
- •§ 66. Пути
- •§ 67. База и ядро
- •Глава XI
- •§ 68. Основные определения и свойства
- •§ 69. Независимые множества
- •§ 70. Раскраски
- •§ 71. Реализации гиперграфа
- •Глава XII
- •§ 72. Предварительные сведения
- •§ 73. Поиск в глубину
- •§ 74. Отыскание двусвязных компонент
- •§ 75. Минимальный остов
- •§ 76. Кратчайшие пути
- •§ 77. Наибольшие паросочетания и задача о назначениях
- •§ 78. Труднорешаемые задачи
§ 60. Другие подходы к раскраске графов
В 1943 г. Г. Хадвигер выдвинул гипотезу, тесно связанную с проблемой четырех красок.
Гипотеза Хадвигер а. Любой связный п-хроматический граф стягиваем к К4.
Для п ≤ 4 гипотеза подтверждается. В самом деле, при п = 1 утверждение тривиально. При п = 2 каждый связный граф стягивается к ребру, а при п = 3 — содержит цикл и потому стягивается к К3 . Следующая теорема доказывает гипотезу для п = 4.
Теорема 60.1. Каждый связный n-хроматический граф стягиваем к К4 .
Пусть G — связный 4-хроматический граф. Если в G есть точки сочленения, то некоторый его блок должен быть 4-хроматическим, иначе из теоремы 53.3 следовало бы, что χ(G) < 4. Стянем G к этому блоку. По той же причине блок останется 4-хроматическим после стягивания ребер, инцидентных вершине степени 2. Таким образом, не теряя общности, можно считать G блоком со степенями вершин не менее трех.
Пусть C = ( v1, v2 ,… , vp , v1)— простой цикл максимальной длины р в G. Очевидно, что р ≥ 4. Простую цепь, связывающую две несоседние вершины цикла С и не содержащую других вершин этого цикла, назовем С-хордой. Покажем, что для любой вершины v1 цикла С существует С-хорда, которой принадлежит эта вершина. Так как deg v1 ≥ 3, то имеется ребро е = v1u, не принадлежащее С. Если и € VC, то ребро е является С-хордой. Пусть u ¢ VC. Тогда по теореме 34.1 существует простой цикл Ci=( v1, u2 ,… , v2 ,…, v1) ,содержащий ребро е и
вершину v2. Цепь L = (v1, и, ..., v2) должна иметь некоторую вершину vi отличную от v2 и принадлежащую циклу С, иначе С не был бы простым циклом максимальной длины. Часть цепи L от v1 до первой вершины, принадлежащей циклу С, и будет искомой С-хордой.
Предположим, что существуют две С-хорды Т1 = (vi, ..., vj) и T2=(vk , ...,vl ) с общей вершиной t вне С. Тогда часть графа, состоящая из С, Т1 и T2, стягивается к К4. Один из вариантов стягивания изображен на рис. 60.1, а.
Теперь рассмотрим случай, когда не существует пересекающихся С-хорд. Любая С-хорда делит цикл С на две простые цепи. Выберем такую С-хорду Т1, чтобы одна из этих цепей С’=( vi , ...,vj ) была кратчайшей, и возьмем вершину vh на этой цепи (такая вершина существует, поскольку С-хорда соединяет две несоседние вершины цикла). Рассмотрим некоторую С-хорду Т2 = (vk, ..., vi). Если при этом вершина vi будет расположена на С’, то цепь (vk, ..., vi), принадлежащая циклу С, будет короче, чем С’. Следовательно, vi не лежит на цепи С В этом случае часть графа, состоящая из С, Т1 и Т2, стягивается к К4. Один из вариантов стягивания показан на рис. 60.1, б.
После того как будет получен граф К4 оставшуюся часть исходного графа стянем к К4.
Известно, что утверждение гипотезы Хадвигера при n=5 эквивалентно гипотезе четырех красок. А именно, верна следующая
Теорема 60.2. Следующие два утверждения эквивалентны:
1) гипотеза четырех красок верна;
2) любой связный 5-хроматический граф стягиваем к К5.
В заключение этого параграфа рассмотрим один алгебраический подход к проблеме раскраски плоских графов. Детально об этом см. [14].
П
усть
G
—
плоский граф, и ψ:
VG->
А
(где
А
=
{0,
а,
b,
а + b}=(а)+(b)
— прямая сумма двух циклических
групп второго порядка) — его раскраска.
Тогда условием
правильности выбранной раскраски
окажется следующее
условие: yij
=ψ(vi)+ψ(vj)
≠
0
для
любого ребра
vivj
графа
G.
Поэтому
для произвольного цикла С
=
(v1,
v2
,
vn
,..,
vn+1),
vn+1=
v1
должны выполняться условия
Пусть теперь G — произвольный связный граф, каждому ребру vivj которого поставлена в соответствие переменная yij. Получим систему уравнений S(G), записав зоотношения вида (1) для каждого цикла графа G, и си-угему S(G)—для каждого цикла из некоторого фиксированного базиса циклов.
Лемма 60.3. Каждому решению системы S(G) при фиксированной окраске ψ(v0) некоторой вершины v0 однозначно соответствует правильная раскраска графа G четырьмя цветами.
Для
заданной вершины vα
€ VG
рассмотрим
произвольную
цепь Pa
— (v0
,
v1
,
…, vα)
и
примем
где yij составляют решение системы S(G).
В
силу (1) значение ψ{vα)
не
зависит от выбора цепи
Рα,
поэтому
оно определяет цвет вершины vα.
Так
как
yij
≠
0
для
vivj
€ EG,
то
любые смежные вершины смеют
различные цвета. Таким образом, раскраска,
задаваемая
формулой (2), правильная.
Так как граф может содержать большое число циклов, то перейдем от системы уравнений S(G) к системе S(G).
Теорема 60.4. Каждому решению системы S(G) при фиксированной окраске ψ(v0) некоторой вершины v0 однозначно соответствует правильная раскраска графа G четырьмя цветами.
В
силу леммы 60.3 достаточно
показать, что решение
системы S(G)
является
и решением системы
S(G).
Для
этого вначале
рассмотрим произвольный простой
цикл
не
принадлежащий базису циклов С’
графа
G.
Известно
(§
21), что С
можно
представить в виде суммы по модулю
2 нескольких циклов из С.
Пусть
С
= С1+ С2,
С
1,
С2
€
С’
Аналогичные рассуждения можно привести и в том случае, когда цикл С является суммой не двух, а большего числа циклов из базиса циклов С’. Значит, соотношение (1) выполняется для любого простого цикла. Если же цикл С не простой, то необходимо представить его в виде объединения нескольких простых циклов, для каждого из которых выполняется (1).