Глава VIII

Степенные последовательности

Эта глава посвящена теории степенных последова-тельностей. Напомним, что степенной последователь-ностью графа называется список степеней его вершин.

Часто по степеням вершин графа можно судить о его строении. Например, граф, в котором полусумма сте-пеней вершин (т. е. число ребер) не меньше числа вер-шин, содержит цикл (следствие 13.6); граф, степень каждой вершины которого равна двум, есть дизъюнкт-ное объединение циклов; граф, степень каждой вершины которого - четное число, не равное нулю, является объ-единением циклов (теорема 43.1) и т. д. В предыдущих главах есть и другие факты, поддающиеся интерпрета-ции подобного рода.

Естественно возникают следующие вопросы. Как свя-заны между собой степени вершин графа? Как по списку степеней вершин судить о свойствах графа? Какова связь между графами с совпадающими списками сте-пеней вершин? Можно ли построить граф с заданным списком степеней вершин и предписанными теоретико-графовыми свойствами и как это сделать?

Подобные вопросы особенно интенсивно изучаются в настоящее время. Это не только продиктовано внутрен-ней логикой развития теории графов, но имеет и прак-тическое значение. Если в виде графа представляется коммуникационная схема, узлам которой соответствуют вершины графа, а ребрам - каналы связей между вер-шинами, то возникает задача построения графа с задан-ными степенями вершин и, например, максимально воз-можной связностью. Такой граф соответствовал бы схеме

с заданными пропускными способностями узлов и мак-мамальной надежностью. Одна из исторически первых задач теории графов также относится к этому кругу проблем. Именно, в 1857 году А. Кэли, изучая насыщен-ные углеводороды, пришел к задаче перечисления де-ревьев, степени вершин которых равны 1 и 4.

§ 45. Графическая последовательность

Последовательность (d₁, d₂, .., d_n) целых неотрица­тельных чисел ниже называется п-последователъностъю и обозначается одной буквой d. n-последовательность d на-зывается графической, если существует граф, степенная последовательность которого совпадает с d Этот граф называется реализацией последовательности d.

Очевидно, что порядок членов в графической n-после-довательности d несуществен, а каждый ее член d_i удов­летворяет неравенствам 0<d_t<п-1. Часто удобно эти последовательности считать невозрастающими. Согласно лемме о рукопожатиях сумма всех членов графической последовательности является четным числом.

Назовем n-последовательность d правильной, если вы-полняются два следующих условия:

1) n-l>d_l>d₂>...>d_n,

п

2) 2j di— четное число.

i=l

Без ограничения общности графическую последова­тельность можно считать правильной.

Иногда последовательность d удобно записывать в ви­де d = (c₁^k1, c₂^k2 ,..., с_р^kp), где числа c_i, попарно различны, а показатель k_i означает количество повторений числа с_i в последовательности d. Так, (5, 2, 1⁶) = (5, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1).

Рассмотрим последовательность d=(2⁴,1⁴).Существуют ровно пять графов, являющихся реализациями последовательности d. Они имеют следующие компонен-ты: 1) С₄, К₂ и К₂,2) К₃ ,P₃ и К₂ ,3) P₆ и К₂ ,4) P₅ и P₃ ,5) Р₄ и Р₄.

В общем случае графическая последовательность име­ет много реализаций и их число определить сложно. В установлении связи между этими реализациями важ­ную роль играет вводимое ниже понятие переключения. Пусть G - граф, а,b,с,d - четыре его попарно различные вершины, причем ab € EG ,cd € EG, но ac¢EG, bd ¢ EG. Тогда говорят, что граф G допускает переключение s=(ab, cd). Полученный в результате переключения s граф обозначается через sG ; граф G превращается в sG в результате удаления ребер аb и cd и присоединения ребер ас и bd: sG = G - ab - cd + ac + bd. Обратное переключение s^-1=(ac, bd) применимо к графу sG.

Тождественное преобразование ребер графа также по определению является переключением. Например, на рис. 45.1 изображены графы G и sG, ({1, 3} ,{4, 2}).

Очевидно, что переключение не меняет степеней вершин графа. Роль переключений определяется следующей теоремой.

Теорема 45.1. Любая реализация графической последовательности получается из любой другой ее реализации посредством применения подходящей цепочки переключений.

Д оказательство этой теоремы основано на следующей лемме.

Рис. 45.1

Лемма 45.2. Пусть G - граф, вершины которого пронумерованы числами 1, 2, ..., п в порядке невозраста-ния степеней: G = {1, 2, ..., n}, deg i = d_i d_t> d_i+1 , i = 1, n - 1.когда для любой его вершины i существует такая последовательность переключений s₁ , ..., s_t , что в графе Н = s_t...s₁G окружение вершины i совпадает с множе-ством из d_i вершин наибольших степеней, т. е.

{1,2, . ..,d_i}, если i>d_{i ,}

({1,2,...,i - 1, i + 1, ...,d_i+1}, если i<d_i.

Пусть i,j,k € VG, j > k , ij € EG, ik ¢ EG. Так как >dj, то существует четвертая вершина l, смежная с k ,н е смежная с j (рис. 45.2, где, как и всюду в этой главе, пунктирными линиями обозначены ребра, отсутствующие в графе). Следовательно, граф G допускает переключение s=(ij, kl). Если G'=sG, то ik € EG', ij € EG'. Сделав несколько подобных переключений, придем к нужному графу Н.

Доказательство теоремы 45.1. Пусть d — правильнаяя графическая n -последовательность.Воспользуемся индукцией по п. Как подтверждает прямая проверка, при n ≤ 4 каждая графическая последовательность имеет только одну реализацию. Следовательно, для п≤ 4 утверждение теоремы тривиально. Пусть п>4 и это утверждение верно для всех графических (п - 4)-последовательностей. Пусть, далее, G₁ и G₂ – две реализации последовательности d. Для каждого из графов G₁ и G₂ обозначим через v какую-либо вершину степени d₁ . Согласно лемме 45.2 существуют такие цепочки переключений s₁,..., s_t и s₁ ,..., s_r , что в графах H₁ = s_t... s₁G₁ и H₂= s_r....s₁G₂ окружения вершины v состоят из вершин степеней d₂ ,d₃ ,...,d_d1+1. Поэтому степенные последовательности графов H₁ - v и H₂ - v совпадают. По индуктивному предположению существует такая цепочка переключений s₁ , ..., s_h, что

H₁ - v =s_k , ...,s₁ (H₂ - v).

Эти переключения не затрагивают вершины v, поэтому H₁ = s_k , ...,s₁H₂. Далее имеем

G₁ = s₁^-1... s_t^-1H₁ = s₁^-1... s_t^-1s_k.... s₁H₂ = s₁^-1... s_t^-1s_k ....s₁s_t^' ...s₁^'HG₃.

Иногда, хотя и редко, граф определяется своей сте­пенной последовательностью однозначно. Если все реа­лизации графической последовательности изоморфны, то эта последовательность называется униграфической, а ее реализация — униграфом. Строение униграфов из­вестно, однако его описание слишком сложно. Унигра­фом является, например, простой цикл C₅.