![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава VII
- •§ 43. Эйлеровы графы
- •Глава VIII
- •§ 45. Графическая последовательность
- •§ 46. Критерии графичности последовательности
- •§ 47. Реализация графической последовательности с максимальной связностью
- •§ 48. Гамильтонова реализация графической последовательности
- •§ 49. Расщепляемые графы
- •§ 50. Пороговые графы
- •§ 51. Пороговое разложение графа
- •§ 52. Степенное множество графа
- •Глава IX
- •§ 53. Правильная раскраска
- •§ 54. Оценки хроматического числа
- •§ 56. Раскраска ребер
- •§ 57. Связь матроидных разложений графов с раскрасками
- •§ 58. Раскраска планарных графов
- •§ 59. Проблема четырех красок
- •§ 60. Другие подходы к раскраске графов
- •§ 61. Совершенные графы
- •§ 62. Триангулированные графы
- •Глава X Ориентированные графы
- •§ 63. Основные определения
- •§ 64. Полустепени исхода и полустепени захода
- •§ 65. Обходы
- •§ 66. Пути
- •§ 67. База и ядро
- •Глава XI
- •§ 68. Основные определения и свойства
- •§ 69. Независимые множества
- •§ 70. Раскраски
- •§ 71. Реализации гиперграфа
- •Глава XII
- •§ 72. Предварительные сведения
- •§ 73. Поиск в глубину
- •§ 74. Отыскание двусвязных компонент
- •§ 75. Минимальный остов
- •§ 76. Кратчайшие пути
- •§ 77. Наибольшие паросочетания и задача о назначениях
- •§ 78. Труднорешаемые задачи
§ 46. Критерии графичности последовательности
Как отмечалось выше, графическую последовательность всегда можно считать правильной. Кроме того, в ней должны быть равные члены (если длина ее п > 1), поскольку не существует графа, степени всех вершин которого попарно различны (см. упражнение 11 в гл. I).
Однако указанные условия отнюдь не являются до-статочными для графичности последовательности. Оче-видно, например, что последовательность (32, 12) не яв-ляется графической, хотя и удовлетворяет упомянутым условиям.
Известно несколько критериев графичности последо-вательности. Одной из важнейших теорем такого рода является критерий Гавела - Хакими, к изложению ко-торого мы приступим.
П
усть
d
—
правильная n-последовательность,
п
>
1. зафиксируем
индекс i,
1≤ i
≤ п, и
через сi
обозначим (n-1)-последовательность,
которая получается из последовательности
d
вычеркиванием
i-го
члена.
Тем самым
П
усть,
далее, последовательность получается
из последовательности сг
в результате уменьшения
на единицу каждого из первых di-
членов:
Когда dl называется производной последовательностью.
Например, если d = (3, 3, 1, 1), то d1=(2,0,0)=d2, d3 =(2, 3,1)= d4.
Теорема 46.1 (В. Гавел, 1955 г., С. Хакими, 1962 г.). Пусть d — правильная п-последователъностъ, n > 1. Если для какого-либо индекса i, 1≤ i ≤ п, производная последовательность dl является графической, то и n— графическая последовательность. Если последовательность d графическая, то каждая последовательность
(i=1, n) является графической.
Пусть di — графическая последовательность, Н — её реализация. Добавив к графу Н новую вершину и соединив ее ребрами с d{ вершинами наибольших степе-вй, получим реализацию последовательности d. Следоательно, d — графическая последовательность.
Обратно, пусть последовательность d является графической. Согласно лемме 45.2 существует такая реализа-ия G этой последовательности, в которой некоторая вершина v степени d{ смежна с d{ вершинами, степени которых наибольшие. Очевидно, что граф G — v является реализацией последовательности di
Предыдущий критерий вместе с леммой 45.2 подсказывают алгоритм распознавания графичности правильной последовательности и построения одной из ее реализаций. Назовем этот алгоритм l-процедурой. Пусть d — равильная n - последовательность, V — n-элементное множество вершин (будущего графа), каждому элементу v которого приписано неотрицательное целое число d (v)—метка, причем d{v)<n. Пусть, далее, S(v)—подмножество V, составленное из d(v) отличных от вершины v вершин с максимальными .метками (S(v) определено не однозначно). Шаг l-процедуры заключается в следующем:
фиксировать произвольную вершину v с положительной меткой (далее эта вершина называется ведущей);
фиксировать одно из подмножеств S(v);
вершину v соединить ребром с каждой вершиной из S(v);
изменить метки вершины v и каждой из вершин и, входящих в S(v), положив d(v):=0, d(u):= d(u)— 1.
Если в результате применения шага l-процедуры какая-либо из меток становится отрицательной, то говорят, что этот шаг проваливается.
l-процедура
применяется к правильной n-последовательности
d
и
заключается в последовательном
выполнении
шагов. Берем V
= {1,
2, ..., п}
и
первоначально
Рис. 46.1
полагаем d(i) = du Из леммы 45.2 и критерия 46.1 вытекает, что возможно одно из двух: либо мы приходим к нулевой последовательности меток и одновременно получаем реализацию последовательности d, либо очередной шаг проваливается, т. е. последовательность d не является графической.
На рис. 46.1 Z-процедура демонстрируется на примере последовательности (З2, 23). Каждый столбец на этом рисунке соответствует одному шагу /-процедуры.
Отметим еще один критерий графичности последовательности.
Теорема
46.2 (П. Эрдёш, Т. Галлаи, 1960 г.). Правильная
п-последователъностъ d
является графической тогда
и только тогда, когда для каждого к =
1,п-1
верно
н
еравенство
Необходимость неравенства (1) проверяется легко.
П
усть
G
—
реализация последовательности d,
Р
азобьем
сумму Sk
на
две части: Sk
= A
+ В, где
А
—
сумма
степеней вершин порожденного подграфа
G(l,
2,
..., k),
а
В
—
вклад, вносимый в сумму Sh
ребрами
вида
ij,
где i
≤ k,
j
> k:,
Очевидно, что
откуда и вытекает неравенство (1).
Приведем доказательство достаточности условий теоремы, принадлежащее С. А. Чоудаму (1986 г.). Пусть d — правильная n-последовательность, причем неравенство (1) верно для каждого k = 1, п— 1. Если di = r (i—1, п), то хотя бы одно из чисел r и n четное, поскольку сумма членов последовательности d — четное число. Кроме того, r≤п—1. При этих условиях существует п -вершинный регулярный граф степени r (утверждение 7.1). Стало быть, d — графическая последовательность.
П
усть
теперь среди членов di
последовательности
d
есть
различные. Не ограничивая общности,
рассмотрим случай,
когда dn
≠ 0.
Воспользуемся индукцией по сумме членов
последовательности d.
При
Σ = 2 условиям теоремы
удовлетворяет только одна n-последовательность
(1,
1, 0, ..., 0); эта последовательность, очевидно,
графическая.
Возьмем теперь Σ
> 2 и предположим, что условия
теоремы достаточны для графичности
любой правильной
n-последовательности
с меньшей чем Σ
суммой членов.
Пусть t
= min{i:
di>
di+1).
Тогда
1 ≤ t
≤n
- 1. Положим
и
докажем, что последовательность с
также
удовлетворяет
условиям теоремы. Пусть
З
аметим,
что S'k=
Sk
(k
—1,t
—
l).
Нужно доказать неравенства
Это совсем просто при k ≥ t. Имеем
и
неравенство (2) верно.
П
усть
теперь к
≤ t—
1. В
этой ситуации
Е
сли,
к тому же, dh<k—
1,
то из равенств (3) непосредственно
вытекает
т. е. неравенство (2) верно.
Далее отдельно рассмотрим две возможности: 1) dk = k, 2) dk ≥ k + l.
1
)
Заметим, что в рассматриваемом случае
Э
то
очевидно при k
+ 2 < n—
1. Если же k
+ 2 = п, то
t
= n—
1
и, следовательно d
= ((n
-
2)n-1,
dn).
Далее, имеем
Σ
= (п
—
2) (n
— 1) + dn.
Так
как Σ
— четное число и
dn
>
0, то dn
≥
2, откуда и следует неравенство (4).
Согласно
(3) и (4)
Д
ля
i
> k
имеем
поэтому
из (5) следует, что
т. е. неравенство (2) верно.
2
)
Если dn
≥
k
+
1, то
Поэтому
и неравенство (2) верно.
П
усть
теперь dn
< k
+
1. В этом случае верно неравенство
Действительно,
если, напротив, (6) неверно, то
Положив r = min (i: dt+i+1 < k) и учитывая (3), получим
Последнее противоречит тому, что последовательность d удовлетворяет неравенствам (1). Неравенство (6) доказано. С учетом (6) и (3) получаем
В
рассматриваемом случае t
≥
k
+
1, dt
= dk
≥
k
+ 1, min
{k
,
dt}
=min
{k,
ct}=k,
min
{k,
cn}
= cn
= dn
— 1,
min
{ k
, dn}
= dn
,
поэтому
из (7) вытекает
Тем самым доказано, что в любой ситуации последовательность с удовлетворяет условиям теоремы. Так как сумма членов этой последовательности равна Σ — 2, то она графическая по индуктивному предположению. Возьмем произвольную реализацию G последовательности с. Пусть а, b € VG, deg a = ci, deg b = сп. Если вершины а и b не смежны, то граф G + аb является реализацией последовательности d и, следовательно, d — графическая последовательность.
Пусть аb € EG. Так как deg а — dt — 1 ≤ п — 2, то существует вершина е € VG, не смежная с а. Но deg e ≥ deg b , поэтому существует вершина f € VG, смежная с е и не смежная с b. Итак, граф G допускает переключение s = (ab, ef). Граф sG = G — ab — ef + ae + bf также служит реализацией последовательности с, причем в нем вершины а и b не смежны. Но тогда, как доказано выше, последовательность d является графической.
При тестировании последовательности с помощью критерия Эрдёша — Галлаи нет необходимости проверять все п— 1 неравенств (1). Пусть d — правильная n-последовательность, k(d)= max { i : di ≥ i). Тогда верно следующее
Утверждение 46.3. Если последовательность d удовлетворяет каждому из неравенств (1) при k = 1, k(d), то она удовлетворяет и каждому из оставшихся неравенств (1).
Доказательство опускается.