- •Глава VII
- •§ 43. Эйлеровы графы
- •Глава VIII
- •§ 45. Графическая последовательность
- •§ 46. Критерии графичности последовательности
- •§ 47. Реализация графической последовательности с максимальной связностью
- •§ 48. Гамильтонова реализация графической последовательности
- •§ 49. Расщепляемые графы
- •§ 50. Пороговые графы
- •§ 51. Пороговое разложение графа
- •§ 52. Степенное множество графа
- •Глава IX
- •§ 53. Правильная раскраска
- •§ 54. Оценки хроматического числа
- •§ 56. Раскраска ребер
- •§ 57. Связь матроидных разложений графов с раскрасками
- •§ 58. Раскраска планарных графов
- •§ 59. Проблема четырех красок
- •§ 60. Другие подходы к раскраске графов
- •§ 61. Совершенные графы
- •§ 62. Триангулированные графы
- •Глава X Ориентированные графы
- •§ 63. Основные определения
- •§ 64. Полустепени исхода и полустепени захода
- •§ 65. Обходы
- •§ 66. Пути
- •§ 67. База и ядро
- •Глава XI
- •§ 68. Основные определения и свойства
- •§ 69. Независимые множества
- •§ 70. Раскраски
- •§ 71. Реализации гиперграфа
- •Глава XII
- •§ 72. Предварительные сведения
- •§ 73. Поиск в глубину
- •§ 74. Отыскание двусвязных компонент
- •§ 75. Минимальный остов
- •§ 76. Кратчайшие пути
- •§ 77. Наибольшие паросочетания и задача о назначениях
- •§ 78. Труднорешаемые задачи
§ 67. База и ядро
Пусть G — ориентированный граф, а В — такое подмножество его вершин, что любая вершина из VG\B достижима из какой-либо вершины, принадлежащей В. Если, к тому же, множество В минимально относительно включения среди всех подмножеств вершин с описанным свойством, то оно называется базой орграфа С.
Очевидно, что в любом орграфе существует база и что никакие две вершины базы не соединены маршрутом.
Поскольку вершины с нулевыми полуступенями захода не достижимы ни из каких вершин, то все они принадлежат базе. В бесконтурном орграфе база состоит только из таких вершин.
Для поиска базы в орграфе G, содержащем контуры, рассмотрим его конденсацию G*, не имеющую контуров согласно утверждению 63.3. Сильные компоненты орграфа G, в которые не входят дуги из других сильных компонент, соответствуют в орграфе G* вершинам с нулевыми полустепенями захода. Назовем такие сильные компоненты базовыми. Все вершины каждой сильной компоненты взаимно достижимы и любая вершина небазовой компоненты достижима из любой вершины некоторой базовой компоненты. Таким образом, доказана
Теорема 67.1. Подмножество вершин В орграфа является базой тогда и только тогда, когда В состоит из вершин, принадлежащих базовым компонентам, причем в каждую базовую компоненту входит ровно одна вершина из В.
Понятие ядра для ориентированных графов вводится так же, как и для неориентированных.
Множество S вершин орграфа G называется доминирующим, если для любой вершины w VG\S существует такая вершина v S, что (v, w) AG. Напомним, что множество S называется независимым, если никакие две
вершины из S не смежны. Множество вершин S, являющееся одновременно и независимым, и доминирующим, называется ядром орграфа.
Орграф, изображенный на рис. 67.1, имеет два ядра:
Не в каждом орграфе есть ядро, в чем нетрудно убедиться, рассмотрев орграф, изображенный на рис. 67.2.
Рассмотрим одно достаточное условие существования ядра.
Теорема 67.2. Каждый орграф, не имеющий контуров нечетной длины, обладает ядром.
> Пусть G — орграф, в котором нет контуров нечетной длины. Для любого подмножества вершин W<=VG положим
Определим рекуррентно
две системы подмножеств В0, В1 ,В2, ... и V0, V1 , V2, ... множества VG. В качестве Во возьмем любую из баз орграфа G и положим
Пусть уже определены Вi-1 и Vi. В качестве Вi возьмем какую-либо базу подграфа Gi = G—Vi ,удовлетворяющую условию
и положим
Покажем, что нужная база действительно существует. Пусть В — база в Gi содержащая вершину v Г(Г(Bi-1)\Vi-1). Поскольку Вi-1 — база в Gi-1 ,то вершина v достижима из какой-либо вершины w Bi-1, и в графе Gi-1 существует (w, и)-путь L (рис. 67.3).
Этот путь содержит по меньшей мере по одной вершине из Г(Bi-1) и из Г(Г(Bi-1)\Vi-1). Пусть и — последняя вершина пути L, принадлежащая можеству Г(Г(Bi-1)\Vi-1). Тогда все вершины, достижимые из вершины v, достижимы и из и, т. е. В' =(B\v)U и — также база. Будем проводить такие замены вершин до тех пор, пока не получим нужную базу Bi. Поскольку
и множество VG конечно, то для некоторого индекса m верно равенство Vm = VG. Положим
и покажем, что S — ядро орграфа G. Из построения множества S вытекает, что оно доминирующее, ибо если v S, то v Г(Bk)\Vk для некоторого индекса k.
Осталось показать, что множество S независимо. Пусть, напротив, в S есть две смежные вершины и и v, и Вр, v Bр. Так как в базе смежных вершин нет, то р <> q. Будем считать, что р < q. Из правила построения множеств Bj следует, что (и, v) AG, (v, u) AG. По этой же причине существует путь
(рис. 67.4), где
из минимальности базы Вр следует равенство и — хр. Но когда путь L оказывается контуром нечетной длины, что противоречит условию теоремы.
Тем самым доказана независимость множества S.
Итак, множество S является независимым и доминирующим одновременно, т. е. S — ядро. <
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите теоремы 65.1 и 65.2.
2. Покажите, что в орграфе без контуров всегда есть вершина нулевой полустепенью захода и вершина с нулевой полустепенью исхода.
3. Докажите, что пара векторов (З2, 2) и (3, 22, 1) является графической, и постройте ее реализацию.
4. Постройте ориентированный граф, для которого вектор (33, 22) является как списком полустепеней исхода вершин, так и списком полустепеней захода вершин.
5. Докажите, что следующие свойства орграфа G эквивалентны:
1) G — бесконтурный граф;
2) граф G и его конденсация G* изоморфны;
3) каждый маршрут орграфа G является путем;
4) вершины орграфа G можно упорядочить так, что его матрица смежности будет верхней треугольной матрицей.
6. Полустепень исхода вершины турнира называется количеством очков вершины. Докажите, что в любом турнире расстояние от вершины с максимальным количеством очков до любой другой вершины равно 1 или 2.
7. Докажите, что в транзитивном турнире существует ровно один гамильтонов путь.
8. Докажите, что ребра любого неориентированного графа можно так ориентировать, что в полученном орграфе |d+(v) — d-(v)|<=1 для любой вершины v.
9. Покажите, что любой турнир либо является сильным, либо может быть превращен в сильный сменой ориентации только одной дуги.
10. Докажите, что неориентированный граф G является основанием некоторого сильного орграфа тогда и только тогда, когда G связен и не имеет мостов.
11. Транзитивным замыканием орграфа G называется орграф G’, для которого VG’ = VG, а (и, v) G’ тогда и только тогда, когда в орграфе G вершина v достижима из и. Транзитивная редукция орграфа G определяется как орграф с наименьшим числом дуг, транзитивное замыкание которого совпадает с транзитивным замыканием орграфа G. Покажите, что если орграф не имеет контуров, то его транзитивная редукция единственна.
12. Пусть G — орграф без петель с п вершинами и m дугами. Докажите, что если G является связным, но не сильным орграфом, то п — 1 <= m <= (п — 1)2, а если G — сильный орграф, то п<=m<= п<=(п — 1).
13. Докажите, что в орграфе порядка п, для любых двух несмежных вершин и и v которого верно неравенство d(u)+ d(v)>=2п — 3, существует гамильтонов путь.
14. Орграф L(G), вершины которого соответствуют дугам орграфа G и (и, v) AL(G) тогда и только тогда, когда соответствующие дуги порождают в G маршрут, называется реберным орграфом. Выразите число вершин и число дуг реберного орграфа L(G) через аналогичные параметры орграфа G.
15. Целочисленная функция g(v)>=0, v VG, называется функцией Гранди орграфа G, если для любой вершины v значение g(v) совпадает с минимальным из тех неотрицательных целых чисел, которые не принадлежат множеству {g(u): и Г(у)}. Покажите, что если каждый подграф орграфа G обладает ядром, то существует функция Гранди орграфа G.