![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава VII
- •§ 43. Эйлеровы графы
- •Глава VIII
- •§ 45. Графическая последовательность
- •§ 46. Критерии графичности последовательности
- •§ 47. Реализация графической последовательности с максимальной связностью
- •§ 48. Гамильтонова реализация графической последовательности
- •§ 49. Расщепляемые графы
- •§ 50. Пороговые графы
- •§ 51. Пороговое разложение графа
- •§ 52. Степенное множество графа
- •Глава IX
- •§ 53. Правильная раскраска
- •§ 54. Оценки хроматического числа
- •§ 56. Раскраска ребер
- •§ 57. Связь матроидных разложений графов с раскрасками
- •§ 58. Раскраска планарных графов
- •§ 59. Проблема четырех красок
- •§ 60. Другие подходы к раскраске графов
- •§ 61. Совершенные графы
- •§ 62. Триангулированные графы
- •Глава X Ориентированные графы
- •§ 63. Основные определения
- •§ 64. Полустепени исхода и полустепени захода
- •§ 65. Обходы
- •§ 66. Пути
- •§ 67. База и ядро
- •Глава XI
- •§ 68. Основные определения и свойства
- •§ 69. Независимые множества
- •§ 70. Раскраски
- •§ 71. Реализации гиперграфа
- •Глава XII
- •§ 72. Предварительные сведения
- •§ 73. Поиск в глубину
- •§ 74. Отыскание двусвязных компонент
- •§ 75. Минимальный остов
- •§ 76. Кратчайшие пути
- •§ 77. Наибольшие паросочетания и задача о назначениях
- •§ 78. Труднорешаемые задачи
§ 61. Совершенные графы
Как отмечалось выше, хроматическое число и плотность любого графа удовлетворяют очевидному неравенству χ(G)≥φ(G). При этом, как свидетельствует теорема 54.5, разность χ(G) - φ(G) может быть как угодно велика. В этом параграфе изучаются графы, обладающие тем свойством, что хроматическое число и плотность не только самого графа, но и каждого его порожденного подграфа, равны.
Граф называется совершенным, если
χ(H )= φ(H) (1)
для любого его порожденного подграфа H.
Из этого определения непосредственно вытекает, что всякий порожденный подграф любого совершенного графа является совершенным.
Очевидно, что все полные и пустые графы совершенны. Примером совершенного графа может служить также каждый двудольный граф поскольку для любого его подграфа H либо χ(H )=φ(H)=2 (если H непустой), либо χ(H )=φ(H)=1 (при пустом H).
Совершенные графы введены К. Бержем в I960 году. Интерес к этим графам связан прежде всего с двумя обстоятельствами. Во-первых, многие трудно разрешимые в общем случае задачи теории графов успешно решаются для совершенных графов. Во-вторых, ряд широко известных классов графов содержится в классе совершенных. Таковы, например, все двудольные, пороговые, расщепляемые и триангулированные (см. § 62) графы. Исследования, посвященные совершенным графам и, в частности, связанной с ними гипотезе Бержа, речь о которой пойдет ниже, во многом определяют лицо современной теории графов.
Теорема 61.1. Граф, дополнительный к совершенному графу, также является совершенным.
Эту теорему в виде гипотезы сформулировал К. Берж 1961 г. Позже ее независимо доказали Д. Р. Фалкерон (1971 г.) и Л. Ловас (1972 г.). Ниже приводится доказательство Л. Ловаса.
Лемма 61.2. Следующие два утверждения равносильны:
граф G является совершенным;
в
любом непустом порожденном подграфе G' графа G есть такое независимое множество вершин А, что
Пусть G — совершенный граф, G' — его непустой порожденный подграф. Тогда χ(G') = φ(G'). Следовательно, существует правильная φ(G')-раскраска графа G'. если А — какой-либо цветной класс при этой раскраске, то множество А независимо и χ(G'— A) ≤φ(G')— 1. Из последнего неравенства вытекает (2), поскольку φ(H) ≤ χ(H) для любого графа H.
П
усть
теперь для некоторого графа G
верно
утверждение
2). Нужно доказать, что для любого
порожденного
подграфа G'
графа
G
выполняется
неравенство
И
з
неравенства (3) следует равенство
плотности и хроматического
числа, ибо противоположное неравенство
всегда
верно. Воспользуемся индукцией по \G’\.
Если
G'
—
пустой граф, то (3) тривиально. Пусть G'
непуст,
\G'\
=k
> 1
и для каждого порожденного подграфа
меньшего
чем k
порядка
верно неравенство, аналогичное
неравенству
(3). Для независимого множества А
вершин
графа
G',
удовлетворяющего
неравенству (2), имеем по индуктивному
предположению:
Н
о
так как множество А
независимо,
то
и равенство (3) доказано.
Пусть G и H — произвольные графы. Будем считать их множества вершин не пересекающимися и следующим образом определим новый граф F. Отметим произвольную вершину v графа G и положим VF = (VG U VH)\v. Вершины а и b графа F будем считать смежными, если выполняется одно из следующих трех условий:
ab € EG,
аb€ЕН,
a € VG, b €VH, av €EG или b € VG, a €VH, bv € EG.
Скажем, что граф F получается из графа G в результате замены вершины v графом Я.
Лемма 61.3. Граф, полученный из совершенного графа в результате замены вершин совершенными графами, также является совершенным.
Очевидно, что достаточно рассмотреть лишь одну замену вершины. Пусть G и H — совершенные графы, a F получается из G в результате замены вершины v графом Я. Учитывая лемму 61.2, достаточно показать, что в любом порожденном подграфе F' графа F есть независимое множество вершин А, пересекающееся с каждой наибольшей кликой графа F'. Вначале пусть F' = F. Зафиксируем какую-либо правильную φ(G)-раскраску графа G. Пусть В — цветной класс, содержащий вершину v. Выберем в графе Н такое независимое множество вершин С, что φ(H - С) < φ(С). Теперь покажем, что множество (BUC)\v = А удовлетворяет нужным условиям. В самом деле, В независимо в G, С независимо в Н. Если же b € B \ v, c € C, то вершины b и v не смежны в G, а потому b и с не смежны в F. Итак, А — независимое множество вершин графа F.
Остается показать, что А пересекается с каждой наибольшей кликой графа F. Пусть К — одна из таких клик, L = К ∩ VH. Если L ≠ 0, то L содержит какую-либо наибольшую клику D графа H, поскольку любая вершина рафа G — v либо смежна в F с каждой вершиной графа H, либо ни с одной из них. Так как D∩C ≠ 0, то К ∩ А ≠ 0. Если же L = 0, то K€VG\v, φ(F)=\K\ ≤ φ(G — v) ≤ φ(G). Но очевидно, что φ(G) ≤ φF). Следовательно, \K\ = φ(G), клика К пересекается с каждым цветным классом любой правильной φ(G)-раскраски графа G, К∩(B\v)≠0, значит, К ∩ А ≠ 0. Доказано, то в графе F есть независимое множество вершин, юторое пересекается с каждой наибольшей кликой того графа.
Теперь заметим, что аналогичное свойство имеет любой порожденный подграф F' графа F, поскольку F' либо получается из некоторого порожденного подграфа G' графа G в результате замены вершины v порожденным подграфом Н' графа Н, либо является порожденным подграфом графа G.
Лемма 61.4. В любом совершенном графе G есть лика, пересекающая каждое наибольшее независимое ножество вершин графа G.
Проведем
доказательство от противного. Пусть G
—
тершенный
граф, для каждой клики В
которого
суще-гвует
такое наибольшее независимое множество
вершин ,
что В∩А=¢.
Пусть,
далее, В1,
...,
Вг
—
список всех клик
графа G,
Аi
—
наибольшее независимое множество
вершин,
такое что Аi
∩
Вi≠
0
(i=1,r).
Для произвольной
вершины v
графа
G
обозначим
через w(u)
число
всех ножеств
Аi,
содержащих
эту вершину. Заменив в G
каждую
вершину v
полным
графом Kw(v),
получим
граф G',
который по лемме 61.3 окажется совершенным.
Оценим
число φ(С).
Очевидно, что всякая клика графа G'
есть
объединение клик графов, заменивших в
G
вершины
какой-либо
клики. Поэтому
Поскольку
каждое из множеств Аi
вносит
единицу в те и
только те из чисел w{v),
для
которых v
€ Aj,
то
Н
о
очевидно, что
Следовательно,
Далее,
(теорема 54.7). Построим последовательность, выписав поочередно все элементы множества А1, все элементы множества А2, ..., все элементы множества Аr .Пусть l — длина этой последовательности. Очевидно, что
С
другой стороны, каждая вершина v
графа
G
фигурирует
в этой последовательности ровно w(v)
раз,
поэтому
Наконец, очевидно, ao(G') = ao(G).
Н
еравенство
(5) теперь принимает вид
Но φ(G') = χ(G'), что противоречит совокупности неравенств (4) и (6). Полученное противоречие и доказывает лемму.
Доказательство теоремы 61.1. Пусть G — совершенный граф, Н —_непустой порожденный подграф дополнительного графа G’. Тогда Н’ — порожденный подграф графа G. Согласно лемме 61.4 в графе Н’ есть клика В, пересекающаяся с каждым наибольшим независимым подмножеством вершин. В графе Н множество В независимо и пересекается с каждой наибольшей кликой. Следовательно, в силу леммы 61.2 граф G’ является совершенным.
Напомним читателю, что c(G) означает число кликового покрытия графа G. Очевидно, что αо(G) = φ(G’), c(G) = χ(G), поэтому из теоремы 61.1 вытекает
Следствие 61.5. Граф является совершенным тогда и только тогда, когда ао(Н) = с(Н) для любого его порожденного подграфа Н.
Приведем без доказательства теорему, характеризующую совершенные графы в терминах многогранников. С каждой бинарной матрицей А без нулевых столбцов можно связать два многогранника: многогранник Р(А) ={х: Ax ≤ 1, х ≥ 0}, введенный в § 28, и многогранник Рс (А) — выпуклую оболочку множества целых точек многогранника Р(А). Очевидно, что РС(А) € Р(А).
Теорема 61.6. (В. Хватал, 1975 г.). Пусть А — матрица клик графа G. Тогда для того, чтобы граф G был совершенным, необходимо и достаточно выполнение равенства РС(А) = Р(А).
Легко видеть, что условием, необходимым для того, чтобы граф был совершенным, является отсутствие в нем порожденных простых циклов нечетной длины l ≥ 5. В самом деле, если С — такой цикл, то φ(С) = 2 < χ(С) = 3. Из теоремы 61.1 вытекает, что таких циклов нe должен содержать и граф, дополнительный к совершенному. В 1962 году К. Берж высказал предположение, то эти два условия не только необходимы, но и достаточны для того, чтобы граф был совершенным.
Сильная гипотеза Берж а. Граф G является совершенным тогда и только тогда, когда ни он, ни его дополнение G не содержат порожденных подграфов вида G2h+hk>2.
Эта гипотеза, не доказанная и не опровергнутая до зго времени, инициировала исследование совершенных эафов и привела ко многим интересным результатам.