Направление выпуклости графика функции

Предположим, что функция дифференцируема в любой точке интервала (a, b). Тогда, существует касательная к графику функции , проходящая через любую точку этого графика (a<x<b), причем эта касательная не параллельна оси .

Опр. Будем говорить, что график функции имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой своей касательной

Замечание. Термин «график лежит не ниже (не выше) своей касательной» имеет смысл, ибо касательная не параллельна оси .

рис.3 рис.4

На рис.3 изображен график функции, имеющий на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз, а на рис.4 изображен график функции, имеющий выпуклость, направленную вверх.

Точки перегиба графика функции

Пусть a, b и c - некоторые три числа, связанные неравенствами a<b<c. Предположим, что функция дифференцируема на интервале (a, b), т.е. существует касательная к графику этой функции во всех точках, абсциссы которых принадлежат интервалу (a, b). Предположим, кроме того, что график функции имеет определенное направление выпуклости на каждом из интервалов

(a, b) и (c,b).

Опр. Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки оси абсцисс, в пределах которой график функции слева и справа от имеет разные направления выпуклости.

рис5

На рис.5 изображен график функции, имеющий перегиб в точке .

• Третье достаточное условие экстремума

Теорема5. Пусть - целое число и пусть функция имеет производную порядка в некоторой окрестности точки и производную порядка в самой точке . Пусть, далее, справедливы следующие соотношения:

, . (13)

Тогда, если является четным числом, график функции имеет перегиб в точке . Если же является нечетным числом и, кроме того, , функция имеет локальный экстремум в точке , точнее, имеет в точке локальный минимум при и локальный максимум при .

13. Формула Тейлора для функции одной переменной.

Теорема Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки а производную порядка n+1 (n – любой фиксированный номер). Пусть, далее, х – любое значение аргумента из указанной окрестности, р – произвольное положительное число. Тогда между точками а и х найдется точка ξ такая, что справедлива следующая формула:

(1)

где (2)

Формула (1) называется формулой Тейлора (в центре в точке а), а выражение Rn+1(x) называется остаточным членом (в общей форме).

◄Обозначим символом φ(х,а) многочлен относительно х порядка n , фигурирующий в правой части (1), т.е. положим

(3)

Далее обозначим символом Rn+1(x) разность

Rn+1(x)= f(x) - φ(х,а) (4)

Теорема будет доказана, если мы установим, что Rn+1(x) определяется формулой (1)

Фиксируем любое значение х из окрестности, указанной в формулировки теоремы. Ради определенности будем считать, что х>а. Обозначим через t переменную величину, имеющую областью своего изменения сегмент [x,a], и рассмотрим вспомогательную функцию φ(t) следующего вида:

р

φ(t)= f(x) - φ(х, t) – (х- t) Q(x) (5)

где (6)

Подробнее φ(t) можно записать так

(7)

Наша цель – выразить Q(x), исходя из свойств введенной нами функции φ(t). Покажем, что функция φ(t) удовлетворяет на сегменте [а,х] всем условиям теоремы Роля. Из формулы (7) и из условий, наложенных на функцию f(x) , очевидно, что функция φ(t) непрерывна на сегменте [а,х] и дифференцируема на этом сегменте. Убедимся в том, что φ(а)= φ(х)=0. Полагая в (5) t=а и принимая во внимание равенство (6), будем иметь

φ(а)= f(x) -φ(х,а) -Rn+1(x)

Отсюда на основании (4) получим φ(а)=0. Равенство φ(х)=0 сразу вытекает из формулы (7).

Итак, для функции φ(t) на сегменте [а,х] выполнены все условия теоремы Роля. На основании этой теоремы внутри сегмента [а,х] найдется точка ξ такая, что

φ´(ξ)=0 (8)

Подсчитаем производную φ´( t). Дифференцируя равенство (7), будем иметь

(9)

Видим, что все члены в правой части (9), за исключением последних двух, взаимно уничтожаются. Т.о.

(10)

Полагая в формуле(10) t= ξ и используя равенство (8), получим

Q(x)= (11)

Сопоставляя (11) и (6), окончательно будем иметь

►

Найдем разложение по формуле Тейлора простейшей функции – алгебраического многочлена n-го порядка. Пусть

Тогда, поскольку , остаточный член Rn+1(x)≡0 и формула Тейлора примет вид

Т.о. формула Тейлора позволяет представить любой многочлен f(x) в виде многочлена по степеням (х-а), где а – любое вещественное число.

Пусть теперь f(x) – произвольная функция, удовлетворяющая условиям теоремы Тейлора .постараемся выяснить, какими свойствами обладает многочлен (3) , фигурирующий в формуле Тейлора для этой функции. Как и выше, будем обозначать этот многочлен символом φ(х,а). Символом , обозначим n-ю производную φ(х,а) по х. Дифференцируя формулу (3) по х и затем полагая х=а, мы получим следующие равенства

Т.о., фигурирующий в формуле Тейлора для произвольной функции f(x) многочлен φ(х,а) обладает следующим свойством: он сам и его производные до порядка n включительно равны в точке х=а соответственно f(x) и ее производным до порядка n.

Остаточные члены.

ξ€[a,x] → ξ-a=θ(x-a), где 0<θ<1

ξ=a+ θ(x-a), x- ξ=x-a- θ(x-a)=(x-a)(1- θ), x- ξ подставляем в Rn+1(x)

частный случай р=n+1

- остаточный член Лагранжа

р=1

- остаточный член Коши

- формула Тейлора с остаточным членом Пеано, 0-малая