
- •10. Дифференцируемость функции в точке. Функции, дифференцируемые на интервале и их свойства: Теоремы, Роля, Лагранжа.
- •11. Дифференцируемость функции в точке. Функции, дифференцируемые на интервале и их свойства: Теоремы, Роля, Лагранжа.
- •12. Экстремум функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия экстремума.
- •Направление выпуклости графика функции
- •Точки перегиба графика функции
- •13. Формула Тейлора для функции одной переменной.
- •15. Функции многих переменных. Ограниченность функции. Предел функции многих переменных.
- •16. Функции многих переменных. Непрерывность. Свойства непрерывных функций.
- •17. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью частных производных.
- •18. Производные функции по направлению, градиент.
- •19. Экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.
- •Примеры исследования функции на экстремум.
- •20. Формула Тейлора для функции одной и многих переменных.
- •20. Условный экстремум.
- •22. Неявные функции, теорема о неявной функции. Производная неявной функции.
- •23.Определенный интеграл Римана, сумма Дарбу, критерий интегрируемости. Простейшие свойства интеграла Римана. Интегральные суммы. Интегрируемость.
- •§2.Верхние и нижние суммы.
- •Основные св-ва определенного интеграла.
- •24. Методы вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
- •27. Несобственные интегралы, критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Признаки сходимости: признак сравнения, признаки Абеля и Дирихле.
- •32. Формулы Грина, Стокса и Остроградского.
- •34. Функции комплексного переменного. Предел функции. Непрерывность.
27. Несобственные интегралы, критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Признаки сходимости: признак сравнения, признаки Абеля и Дирихле.
Понятие несобственного интеграла первого рода.
Одномерными связными неограниченными областями являются полупрямые a≤x<+∞, -∞<x≤b и бесконечная прямая -∞<x<+∞. Ради определенности рассмотрим полупрямую a≤x<+∞.
Будем предполагать,
что функция f(x)
определена на полупрямой a≤x<+∞
и для любого R≥a
существует определенный интеграл
,
который мы обозначим символом F(R):
F(R)= . (1)
Итак, при наших предположениях на полупрямой a≤R<+∞ задана функция F(R), определенная соотношением (1). Исследуем вопрос о предельном значении функции F(R) при R→+∞, т.е. вопрос о существовании предела lim .(2)
Для выражения (2)
мы будем использовать обозначение
.
(3)
В дальнейшем символ (3) мы будем называть несобственным интегралом первого рода от функции f(x) по полупрямой a≤x<+∞.
Если существует предел (2), то несобственный интеграл (3) наз. сходящимся. Если же этот предел не существует, то несобственный интеграл наз. расходящимся.
Зам.1.
Рассмотрим несобственный интеграл (3).
Если b>a,
то наряду с этим интегралом можно
рассматривать интеграл
.
Очевидно, из сходимости одного из
указанных интегралов вытекает сходимость
другого. При этом имеет место следующее
равенство:
=
.
Отметим, что расходимость одного из указанных несобственных интегралов влечет расходимость другого.
Зам.2. Если несобственный интеграл (3) сходится, то значение предела (2) обозначается тем же символом (3). Таким образом, в случае сходимости интеграла (3) используется равенство
при R→+∞.
Зам.3. Аналогично
несобственному интегралу (3) определяются
несобственные интегралы
и
.
Первый из них символизирует операцию
предельного перехода lim
(R→-∞),
а второй - lim
(R’→−∞,
R”→+∞).
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости.
Вопрос о сходимости
несобственного интеграла первого рода
эквивалентен вопросу о существовании
предельного значения функции F(R)=
при R→+∞.
Как известно, для существования
предельного значения функции F(R)
при R→∞
необходимо и достаточно, чтобы она
удовлетворяла следующему условию
Коши: для
любого ε>0 можно указать такое А>0,
что для любых R’
и R”,
превосходящих А, выполняется неравенство
.
Таким образом, справедливо следующее
утверждение.
Теорема
1.(критерий Коши сходимости несобственного
интеграла). Для
сходимости несобственного интеграла
(3) необходимо и достаточно, чтобы для
любого ε>0 можно указать такое А>0,
что для любых R’
и R”,
превосходящих А,
.
Зам.
Отметим, что из сходимости несобственного
интеграла не вытекает даже ограниченность
подынтегральной функции. Н-р, интеграл
,
где функция равна 0 для нецелых x
и равна n
при x=n
(целое число), очевидно, сходится, хотя
подынтегральная функция неограниченна.
В дальнейшем мы
будем считать, что функция f(x)
задана на полупрямой a≤x<+∞
и для любого R≥a
существует обычный интеграл
.
Докажем следующую теорему.
Теорема 2. (общий
признак сравнения).
Пусть на полупрямой a≤x<+∞
(4). Тогда из сходимости интеграла
вытекает
сходимость интеграла
.
∆ Пусть
сходится. Тогда, согласно критерию Коши,
для любого ε>0 найдется такое А>0, что
для любых R’>A
и R”>A,
выполняется неравенство
.
(5)
Согласно известным неравенствам для интегралов и неравенству (4) имеем
.
Отсюда и из неравенства (5) вытекает, что
для любых R’
и R”,
больших А, справедливо неравенство
.
Следовательно, интеграл
сходится. ∆
Теорема 3.
(частный признак сравнения). Пусть
на полупрямой 0<a≤x<∞
функция f(x)
удовлетворяет соотношению
,
где с и р – постоянные, р>1. Тогда
интеграл
сходится. Если же существует такая
постоянная с>0, что на полупрямой
0<a≤x<∞
справедливо соотношение
,
в котором р≤1, то интеграл
расходится.
Следствие (частный
признак сравнения в предельной форме).
Если при р>1
существует конечное предельное значение
(х→+∞),
то интеграл
сходится. Если же р≤1 существует
положительное предельное значение
(x→+∞),
то интеграл
расходится.
Убедимся в
справедливости первой части следствия.
Для этого заметим, что из существования
предела при x→+∞
вытекает ограниченность функции
,
т.е. с некоторой постоянной с0>0
выполняется неравенство
.
После этого применяется первая часть
теоремы 3. Справедливость второй части
следствия вытекает из следующих
рассуждений. Так как с>0, то можно
указать столь малое ε>0, что с-ε>0.
Этому ε отвечает А>0, что при х≥А
выполняется неравенство с-ε<
(это неравенство следует из определения
предела). Поэтому
и в этом случае действует вторая часть
теоремы 3.
Абсолютная и условия сходимость несобственных интегралов.
Введем понятия абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов. Пусть f(x) интегрируема по любому сегменту [a, R].
Опр.1.
Несобственный интеграл
наз. абсолютно
сходящимся,
если сходится
.
Опр.2. Несобственный интеграл наз. условно сходящимся, если он сходится, а интеграл расходится.
Зам. Положив в теореме 2 g(x)=|f(x)|, мы получим, что из абсолютной сходимости несобственного интеграла вытекает его сходимость.
Отметим, что теоремы 2 и 3 позволяют установить лишь абсолютную сходимость исследуемых несобственных интегралов.
Теорема 4.
(признак Дирихле – Абеля).
Пусть функции f(x)
и g(x)
определены на полупрямой a≤x<∞.
Пусть далее функция f(x)
непрерывна на полупрямой a≤x<∞
и имеет на этой полупрямой ограниченную
первообразную F(x).
Предположим еще, что функция g(x),
монотонно не возрастая a≤x<∞,
стремится к нулю при х→+∞ и имеет
производную g’(x),
непрерывную на полупрямой a≤x<∞.
При этих условиях сходится несобственный
интеграл
.
(6)
∆ Воспользуемся
критерием Коши сходимости несобственных
интегралов. Предварительно проведем
интегрирование по частям интеграла
на произвольном сегменте [R’,
R”],
R”>R’,
полупрямой a≤x<∞.
Получим
.
(7)
По условию теоремы
F(x)
ограничена:
.
Так как g(x)
не возрастает и стремится к нулю при
х→+∞, то g(x)≥0,
а g’(x)≤0.
Таким образом, оценивая соотношение
(7), мы получим следующее неравенство:
.
Так как интеграл в правой части этого
неравенства равен g(R’)-g(R”),
то, очевидно,
(8).
Используя это
неравенство, нетрудно завершить
доказательство теоремы. Пусть ε –
произвольное положительное число. Так
как g(x)→0
при х→+∞, то по данному ε можно выбрать
А так, чтобы при R’≥А
выполняется неравенство g(R’)<ε/2K.
Отсюда и из неравенства (8) следует, что
для любых R’
и R”,
больших А, выполняется неравенство
,
которое, согласно критерию Коши,
гарантирует сходимость интеграла (6).
∆
Зам. Требование дифференцируемости функции g(x) в теореме 4 является излишним. Теорема 4 может быть доказана в предположении одной лишь монотонности g(x) и стремления g(x) к нулю при х→+∞.