Основные св-ва определенного интеграла.

Докажем справедливость следующих св-в определенного интеграла:

1 Мы будем считать, что (10.6)

Отметим, что формула (10.6) должна рассматриваться как соглашение. Ее нужно рассматривать как естественное распространение понятия определенного интеграла на сегмент нулевой длины.

2 . Мы будем считать, что при a<b

(10.7)

Эта формула также должна рассматриваться как соглашение. Она представляет собой естественное обобщение понятия интеграла на случай, когда сегмент [a,b] при a<b пробегается в направлении от b к a (в этом случае в интегральной сумме все разности имеют отрицательный знак).

3 . Пусть ф-ции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a,b]. Тогда ф-ции f(x)+g(x), f(x)-g(x) и f(x) *g(x), также интегрируемы на этом сегменте, причем (10.8)

4 Если ф-ция f(x) интегрируема на сегменте [a,b] , то ф-ция cf(x)(c=const) интегрируема на этом сегменте , причем (10.9)

Действительно, интегральные суммы ф-ций f(x) и cf(x) отличаются постоянным множителем c . Поэтому ф-ция сf(x) интегрируема и справедлива формула (10.9).

5 Пусть ф-ция f(x) интегрируема на сегменте [a,b]. Тогда эта ф-ция интегрируема на любом сегменте [c,d] содержащемся в сегменте [a,b].

Так как ф-ция f(x) интегрируема на сегменте [a,b] , то для любого ε>0 существует такое разбиение Т сегмента [a,b] , что S-s< ε. Добавим к точкам разбиения Т точки c и d.В силу св-ва 2 верхних и нижних сумм для полученного разбиения Т*, тем более справедливо неравенство S-s< ε. Разбиение Т* сегмента [a,b] порождает разбиение сегмента [c,d] .Если - верхняя и нижняя суммы разбиения , то , поскольку каждое неотрицательное слагаемое в выражении будет также слагаемым в выражении для S-s. Следовательно, , и поэтому ф-ция f(x) интегрируема на сегменте [c,d].

6 Пусть ф-ция f(x) интегрируема на сегментах [a,c] и [c,b].Тогда эта ф-ция интегрируема на сегменте [a,b] , причем (10.10)

Рассмотрим сначала случай, когда a<c<b. Так как ф-ция f(x) интегрируема нм сегментах [a,c] и [c,b], то существуют такие разбиения этих сегментов, что разность S-s для каждого из них меньше ε/2. Объединяя эти разбиения, мы получим разбиение сегмента [a,b], для которого разность S-s будет меньше ε. Следовательно, ф-ция f(x) интегрируема на [a,b] . Будем включать точку с в число делящих точек сегмента [a,b] при каждом его разбиении. Тогда интегральная сумма для f(x) на [a,b] равна сумме интегральных сумм для этой ф-циии на [a,c] на [c,b]. В пределе мы получим формулу (10.10).

Если точка с лежит вне сегмента [a,b], то сегмент [a,b] есть часть сегмента [a,c](или [c,b]) и поэтому, в силу св-ва 5, ф-ция f(x) интегрируема на [a,b].Рассмотрим случай a<b<c. Тогда

Отсюда, используя св-во 2 и формулу (10.7), мы опять получим соотношение (10.10). Легко убедиться в справедливости этого соотношения и при c<a<b.

24. Методы вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

1. Существование первообразной для непрерывной ф-ции.Введем понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Пусть ф-ция f(x) интегрируема на любом сегменте , содержащимся в интервале (a,b), и пусть с – некоторая фиксированная точка этого интервала. Тогда , каково бы ни было число x из интервала (a,b), ф-ция f(x) интегрируема на сегменте [c,x]. Поэтому на интервале (a,b) определена ф-ция

F(x)= ,

Которую называют интегралом с переменным верхним пределом. Докажем следующую теорему.

Теорема 10.6Любая непрерывная на интервале (a,b) ф-ция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных яв-ся ф-ция F(x)= ,

где с- любая фиксированная точка интервала (a,b).

Док-во. Достаточно док-ть, что для любого фиксированного x из интервала (a,b) существует предельное значение , причем это предельное значение равно f(x). Имеем , в силу св-ва 6 определенных интегралов

F(x+∆x)-F(x)= По формуле находим F(x+∆x)-F(x)=

где ξ- число заключенное между числами x и x+∆x.Поскольку ф-ция f(x) непрерывна в точке x , то при ∆x→0 f(ξ)→f(x). Поэтому из последней формулы находим

= .Теорема доказана.

Зам-е1.Аналогично док-ся теорема о существовании первообразной у непрерывной на сегменте [a,b] ф-ции.Отметим, что в этом случае в качестве нижнего предела интегрирования с м/о взять a.

Зам-е 2.При док-ве теоремы 10.6 мы установили существование производной от интеграла с переменным пределом и доказали , что эта производная равна подынтегральной ф-ции

(10.17)

Зам-е3.Отметим, что если ф-ция f(x) интегрируема на любом сегменте , содержащимся в интервале (a,b), то интеграл с переменным верхним пределом представляет собой непрерывную на интервале (a,b) ф-цию от верхнего предела. Чтобы убедиться в этом, докажем, что приращение ∆F=F(x+∆x)-F(x) ф-ции F(x)= стремится к нулю при ∆х→0. Имеем, в силу формулы ( где µ удовлетворяет неравенству m≤µ≤M, m,M-точные грани f(x) на сегменте [a,b] ) :

∆F=F(x+∆x)-F(x)= ,

Где число µ заключено между верхней и нижней гранями ф-ции f(x) на сегменте [x,x+∆x]. Из последней формулы вытекает, что и ∆F→0 при ∆x→0.

Зам-е4.Интеграл с переменным верхним пределом часто исп-ся для определения новых ф-ции. Мы уже отмечали, что первообразные некоторых элементарных ф-ций не выражается через элементарные ф-ции и не яв-ся поэтому элементарными ф-циями. Напомним, что к числу неэлементарных ф-ций относятся , например, ф-ция .

Основная формула интегрального исчислении.

Мы доказали, что любые 2 первообразные данной ф-ции отлич-ся на постоянную.Поэтому согласно теореме 10.6 и зам1. к этой теореме,можно утвеождать, что любая первообразная Ф(х) непрерывной на сегменте [a,b] ф-ции f(x) имеет вид

Ф(x)= ,где С- некоторая постоянная.

Полагая в последней формуле сначала x=a, а затем x=b и используя св-во 1 определенных интегралов, найдем

Ф(a)=C, Ф(b)=

Из этих неравенств вытекает соотношение ,

называемое основной формулой интегрального исчисления.

Итак, для вычисления определенного интеграла от непрерывной ф-ции f(x) нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Отметим, что основная формула интегрального исчисления открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче разыскания первообразной ф-ции.

Формулу (10.18) иногда записывают в иной форме. Именно, разность Ф(b)-Ф(a)| . Тогда

(10.19)

Рассмотрим несколько примеров: 1) 2)