4.5. Контрольные вопросы

1. Какие свойства тела характеризует момент инерции ?

2. От каких параметров тела зависит момент инерции ?

3. Какой маятник называется математическим ?

4. Что такое приведенная длина маятника ?

5. Относительно какой оси момент инерции тела имеет наи­меньшую величину ?

6. От каких факторов зависит период колебаний исследуемого тела ?

5

Работа 5.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТО­ДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы- определение момента инерции тел относитель­но нецентральных осей.

5.1. Теоретическое обоснование работы

Исследуем движение диска, подвешенного на жестком моно­филярном подвесе с возможностью совершать крутильные коле­бания.

Повернув диск на некоторый, угол φ (рис. 5.1) вокруг верти­кальной оси OZ, сообщим ему крутильные колебания.

Рис 5.1. Схема к исследованию крутильных колебаний диска.

Дифференциальное уравнение движения диска при этом имеет вид:

J_$ = -Mz, (5.1)

где М₂ - вращающий момент сил упругости жесткого монофиляр­ного подвеса.

Вращающий момент сил упругости жесткого монофилярного подвеса

M_z = сφ

где С - крутильная жесткость монофилярного подвеса, Н∙м/рад.

Тогда выражение (5.1) примет вид:

J_g = cφ, (5.2)

Разделив обе части равенства на J_g и обозначив С /J_g = К² , после преобразований получим дифференциальное уравнение крутильных колебаний диска в воде:

φ = с₁ sin kt + c₂ cos kt_;

где Сj, C₂ - постоянные интегрирования.

Полагая, что в начальный момент t = 0, диск повернут на ма­лый угол φ = φ₀ и отпущен без начальной скорости (φ₀ = 0), найдем для постоянных интегрирования С_} = О, С₂ = φо • Тогда закон малых колебаний диска при данных начальных условиях: будет иметь окончательный вид:

φ = φ₀ cos kt (5.3)

Следовательно, малые крутильные колебания диска являются гармоническими. При этом период колебаний определяется фор­мулой:

T_g=2π (5.4)

Как видно из этой формулы, период крутильных колебаний зависит только от момента инерции механической системы и кру­тильной жесткости подвеса. Тогда, если предполагать, что систе­ма состоит из диска и дополнительного тела (исследуемого или эталонного), можно считать действительными следующие выра­жения:

(5.5)

(5.6)

где T_gu, T_g3 - периоды колебаний соответственно диска с иссле­дуемым телом и диска с эталонным телом;

J_g, J_э, J_gll, J_g3 - моменты инерции соответственно диска, эта­лонного тела, диска с исследуемым телом и диска с эталонным телом.

Решая систему уравнений (5.4) и (5.6), получим:

(5.7)

(5.8)

2

Находим момент инерции диска с исследуемым телом Jgu из уравнения (5.5):

(5.9)

С другой стороны:

J_gu=J_g+J_u (5.10)

где J_u - момент инерции исследуемого тела. Из выражений (5.9) и (5.10) находим:

Или с учетом выражений (5.7) и (5.8) после преобразований получим:

(5.11)

Таким образом, определив периоды крутильных колебаний диска, диска с эталонным телом и диска с исследуемым телом, можно рассчитать по формуле (5.11) момент инерции последнего.

5.2. Описание лабораторной установки

Лабораторная установка (рис. 5.2) состоит из основания 1 с тремя опорами 2 (две из них регулируемые по высоте, а третья -нерегулируемая), стойки 3 с кронштейном 4 с цанговым зажимом 5 в конце, диска 6 с тремя подвижными грузиками 7 и со скобой 8 с цанговым зажимом 9 посередине.

Диск 6 жестко подвешен за скобу 8 при помощи стальной проволоки 10 в горизонтальной плоскости на кронштейне 4, за­крепив её концы в цанговых зажимах 5 и 9.

Рис. 5.2. Схема лабораторной установки для экспериментального опре­деления моментов инерции тел методом крутильных колебании.

На основании 1 и в центре диска 6 закреплены оси с острием на концах навстречу друг к другу. При помощи их, передвигая грузы на диске относительно друг друга и изменяя по высоте ре­гулируемые опоры 2, можно отцентрировать установку перед проведением опытов.

Для определения момента инерции исследуемое и эталонное тела последовательно устанавливают на диске 6 неподвижно. За­тем, повернув диск вокруг вертикальной оси на определенный угол отпустив без начальной скорости, придают системе свобод­ные крутильные колебания.

5.3. Порядок выполнения работы

1. Отцентрировать установку.

2. Сообщить диску свободные крутильные колебания, повер­нув его вокруг вертикальной оси на малый угол w (не более 15) и отпустив без начальной скорости.

3. Замерить при помощи секундомера время 30 полных коле­баний. Опыт повторить три раза. Результаты занести в таблицу для подсчета периода крутильных колебаний диска.

4. Положить на диск эталонное тело с известным моментом инерции J₃. Повторить действия, изложенные в п. 1, 2 и 3.

5. Положить на диск исследуемое тело и повторить действия, изложенные в п. 1, 2 и 3.

6. Вычислить момент инерции исследуемого тела по формуле (5.11).