8.2. Описание лабораторной установки

Лабораторная установка для исследования свободных коле­баний тела включает пружину 1 с грузом 2, подвешенную на кон­соли с возможностью совершать по вертикали свободные колеба­ния, шкалу 3, закрепленную на стене вертикально (см. рис. 8.1).

Для приведения системы в колебательное движение необхо­димо затянуть груз 2 вниз и отпустить его без начальной скорости. Далее по шкале 3 можно фиксировать положения груза в любой момент времени.

3. Порядок выполнения работы

1. Подвесить к пружине исследуемый груз (масса указана на нем).

2. Определить по шкале статическое удлинение l_cm пружины

3. Определить жесткость пружины по формуле (8.13).

4. Отклонить груз от положения равновесия на расстояние х₀

(х₀ брать от 30 до 100 мм).

5. Замерить амплитуду колебаний груза (точки М), как поло­вину размаха колебаний.

6. Замерить при помощи секундомера время 10 полных коле­баний.

7. Действия, изложенные в п. 4, 5, 6, повторить три раза. Ре­зультаты исследований занести в таблицу для вычисления периода колебаний.

8. Вычислить период колебаний системы по формуле (8.10) и сравнить с опытным значением.

9. Вычислить круговую частоту колебаний по формуле (8.11).

10. Определить начальную фазу а по формуле (8.9).

11. Найти закон движения точки М, подставив полученные значения А , к и а в уравнение (8.4).

12. Построить график зависимости х = f(t) по найденному за кону движения точки М.

8.4. Содержание отчета

1. Номер и название работы.

2. Цель работы.

3. Схема к исследованию свободных колебаний материальной точки.

4. Результаты исследований по форме:

статическое удлинение λ_с= м;

амплитуда колебаний А = м;

жесткость пружины с = Н/м;

круговая частота колебаний к = с";

начальная фаза колебаний а = рад.

Номер опыта	Время десяти полных ко­лебаний tt. с	Период колебаний Т, = t/10, с
1 2 3
Среднее значение

5. График зависимости х =f(t).

6. Выводы.

8.5. Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются свободными ?

2. Какими параметрами характеризуются свободные колеба­ния ?

3. Что такое жесткость пружины и какими методами ее можно определять ?

4. Что называется амплитудой колебаний и от каких величин она зависит ?

5. Что называется периодом колебаний и от каких величин он зависит ?

6. Зависит ли период колебаний от амплитуды ?

РАБОТА 9.

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Цель работы - экспериментально проверить теорию вынуж­денных колебаний точки.

9.1. Теоретическое обоснование работы

Исследуем вынужденные колебания тела (материальной точ­ки ) массы т , подвешенного на пружине с коэффициентом жест­кости с (рис. 9.1).

Пусть верхний конец Д пружины совершает вертикальные колебания по закону:

ξ = r sinpt (9.1)

где р - частота вынужденных колебаний;

r - амплитуда вынужденных колебаний.

Поместим начало координат О в положение статического равновесия груза и направим ось ОХ по вертикали вниз. Если обозначить длину недеформированной пружины l₀, то ее длина в произвольный момент времени будет

а удлинение

Тогда действующая на тело сила упругости

Рис. 9.1. Схема к исследованию вынужденных колебаний материальной точки.

Составляя дифференциальное уравнение движения груза, бу­дем иметь:

тх = -с(λ_с+ x-ξ)+mg

Отсюда, учитывая то, что mg = с λ_с вводя обозначение с/т = к², после преобразований получим:

x + k²x~ кξ,

Или с учетом (9.1)

х + к²х = k²r sin pt

Далее, вводя обозначение к² r = р₀, будем иметь

x + k²x = p₀ sin pt

Решение данного дифференциального уравнения будет иметь окончательный вид:

х = A sin (kt + а)+ ₂ ^Ро ₂ sin pt _? (9.2)

где Ana- постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям.

Решение (9.2) показывает, что колебания тела слагаются из собственных колебаний с амплитудой А, частотой к и колебаний с амплитудой Б = р₀ / (к² - р²) , частотой р, называемых вынуж­денными колебаниями.

Практически, благодаря неизбежному наличию тех или иных сопротивлений, собственные колебания будут постепенно зату­хать. Поэтому в уравнении (9.2) основное место будет иметь со­ставляющая вынужденных колебаний. Амплитуду этих колеба­ний можно представить в виде:

Как видим, амплитуда Б зависит от отношения частоты p воз­мущающей силы к частоте собственных колебаний к. Если р«к (верхний конец пружины колеблется очень медленно), то В≈r. При р = к наступит резонанс и размах колебаний сильно возрастает. Если частота р станет больше к, то амплитуда колебаний также уменьшается. Наконец, когда р»к амплитуда В≈0.

Для графического представления данной зависимости введем обозначения:

z=plk (9.4)

η= Blr (9.5)

Безразмерный коэффициент ц называем коэффициентом ди­намичности. С учетом обозначений (9.4) и (9.5) выражение (9.3) примет вид:

(9.6)

Частоту собственных колебаний к тела в выражении (9.4) можно найти из принятого обозначения к² = с/т с учетом равен­ства mg = cλ_с. т.е. по формуле:

■ (9.7)

Частота собственных колебаний к тела может быть найдена также, зная период колебаний Т, по истечении которого фаза ко­лебаний изменится на 2л, т. е. из соотношения:

к = 2π/Т (9.8)