Значение вероятности

0,00–0,25	0,25–0,5	0,5	0,5–0,75	0,75–1,00
Событие скорее всего не произойдет	Событие скорее всего не произойдет, чем произойдет	Событие имеет одинаковую вероятность произойти и не произойти	Событие скорее всего произойдет, чем не произойдет	Событие скорее всего произойдет

Рис. 1.2. Интерпретация наступления случайного события

Алгоритм решения задач по определению вероятности события:

1. Определить состав эксперимента.

2. Определить элементарные события в данном опыте.

3. Определить полную группу событий, найти число элементарных событий, составляющих полную группу событий.

4. Определить интересующее нас событие, найти число элементарных событий, составляющих интересующее нас событие.

5. Найти вероятность события по формуле (1.1).

Пример 1.4. Монета подбрасывается три раза, найти вероятность того, что при этом (безразлично, в каком порядке) выпадет два раза герб и один раз цифра.

Решение:

1. Опыт (испытание, эксперимент) состоит в трехкратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании трех монет).

2. Элементарным событием является любое сочетание последовательности выпадений сторон на трех подбрасываемых монетах.

3. U = {ггг, ццц, гцг, ццг, ггц, цгц, цгг, гцц}, N = 8.

4. Событие А – «выпадение двух гербов и одной цифры», M = 3.

5. P(A) = M/N = 3/8 = 0,375.

1.4. Основные теоремы теории вероятностей

■ Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)

или P(A B) + P(A) + P(B) – P(A∩B). (1.5)

Сумму событий А + В называют событием, состоящим в появлении события А, или события В, или обоих событий А и В.

Смысл правила (1.5) очень прост и понятен интуитивно: когда мы складываем вероятности событий А, В, то измеряем, или взвешиваем, вероятность их пересечения дважды – первый раз, когда измеряем относительный размер события А внутри пространства событий, и еще раз, когда делаем то же самое с событием В. Отсюда, поскольку относительный размер, или вероятность пересечения двух наборов, взвешивается дважды, мы вычитаем одно из них и, следовательно, получаем истинную вероятность объединения двух событий.

Пример 1.5. Определим, чему равна вероятность извлечения либо карты масти «трефы», либо карты масти «бубны». Обозначив С «извлечение карты бубновой масти», получим

P(B + С) = P(B C) = P(B) + Р(C) = 13/52 + 13/52 = 26/52 = 1/2.

Мы не должны вычитать вероятность пересечения этих событий, поскольку нет карт, имеющих масти «трефы» и «бубны» одновременно.

Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа п попарно несовместных событий, т. е.

P(A₁ + A₂+ … + A_n) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) +…+ P(A_n)

или

. (1.6)

В случае нескольких совместных событий по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий необходимо исключить повторный учет областей пересечения событий. Рассмотрим три совместных события (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Три совместных события

Для случая трех совместных событий можно записать:

Р(A + В + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).

Сумма вероятностей событий A₁, A₂,…, A_n, образующих полную группу, равна 1:

P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) +…+ P(A_n) = (1.7)

В самом деле, так как события A₁, A₂,…, A_n образуют полную группу, т. е. они единственно возможные и попарно несовместные, то появление одного из них есть событие достоверное, т. е. А₁+А₂+…+ + А_n = Ω, тогда

Р(А₁ + А₂ +...+ А_n) = P(А₁) + P(А₂) + P(А₃) +…+ P(А_n) = P(Ω) = 1.