1.3. Классическое определение вероятности. Свойства, вытекающие из этого определения

Игровые модели дают хорошие примеры вероятностей и иллюстрируют методы оценки вероятностей. азартные игры обычно включают механические схемы – кости, карты, рулетку. Если предположить отсутствие мошенничества, то эти «механические схемы» имеют тенденцию выдавать набор выходных результатов, которые равновозможны, что позволяет вычислять вероятность выигрыша в игре.

Пример 1.2. Предположим, подбрасывают кость и выигрывают, если появляется 1 или 2. каковы шансы на выигрыш?

Решение. Так как существует шесть равновозможных чисел и выигрыш наступает, если появится любой из двух исходов (двух чисел), то вероятность выигрыша вычисляется как отношение двух выигрышных шансов к шести возможным и будет равна 2/6.

Объективная вероятность, классическая вероятность – вероятность, базирующаяся на симметричной игре шансов или одинаковых ситуациях и исходящая из того, что определенные явления бывают равновозможными (числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 в честной игре в кости имеют равную возможность появления).

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов.

Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов – N, тогда

Р(А) = , (1.1)

где М – целое неотрицательное число; 0 ≤ М ≤ N.

Другой тип вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) появления события. Если, к примеру, некоторая фирма в течение определенного времени провела опрос 1000 покупателей о новом сорте напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток, как 20/1000 = 0,02. В этом примере 20 – частота наступления события, а 20/1000 = 0,02 – относительная частота.

Относительная частота события – отношение числа испытаний т, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний п:

ω(A) = , (1.2)

где m – целое неотрицательное число; 0 ≤ m ≤ п.

Чем же отличается относительная частота от вероятности? Относительная частота – результат многократных испытаний. С увеличением числа испытаний относительная частота проявляет тенденцию стабилизироваться, проявляет устойчивость, а именно приближается с затухающими отклонениями к постоянному числу, называемому статистической вероятностью. В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее Р*(А). Следовательно,

(1.3)

Но, как мы уже видели в приведенных примерах, статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности, т. е. Р*(А) ≈ ≈ Р(А).

Для определения вероятности выпадения «1» или «2» при подбрасывании кости нам необходимо знать только «модель игры», в данном случае – кость с шестью гранями. Мы можем определить наши шансы теоретически, без подбрасывания кости – это априорная вероятность (т. е. вероятность до опыта). Во втором примере мы можем определить вероятность только по результатам опыта, это апостериорная (после опыта) вероятность. Таким образом, классическая вероятность – априорная, а статистическая – апостериорная.

Пример 1.3. Аналитик следит за движением йен на акции фирмы IBM в определенном промежутке времени и желает оценить вероятность того, что акции поднимутся в цене на следующей неделе. У аналитика нет столь ясного набора равновероятных исходов, где «акции компании IBM поднимутся в цене на следующей неделе», – есть один из заданного числа исходов этих равновероятных возможностей. Следовательно, аналитическое оценивание вероятностей наступления события будет субъективным, основанным на его собственных оценках вероятности.

Субъективная вероятность включает индивидуальные сужде-ния, информацию, интуицию и другие критерии. Субъективная вероятность одного эксперта может существенно отличаться от субъективной вероятности другого при оценке одного и того же события.

Какой бы вид вероятности ни был выбран, для их вычисления и анализа используется один и тот же набор математических правил.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения:

1. Вероятность достоверного события равна 1, т. е. Р(Ω) = 1. Действительно, если событие А = Ω, то М = N, значит, P(Ω) = = 1.

2. Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, т.е. Р(Ø) = 0. Если А = Ø, то оно не осуществится ни при одном испытании, т. е. М = 0 и Р(Ø) = = 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. В самом деле, так как 0 ≤ М ≤ N, то 0 ≤ М / / 0 ≤ 1, т. е. 0 ≤ P(A) ≤ 1.

4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т. е.

Р(А) + Р(Ā) = 1, Р(Ā) = (N – M) / N = 1 – M/N = 1– Р(А),

а отсюда

Р(А) + Р(Ā) = 1. (1.4)

Например, если вероятность извлечения туза равна 4/52, то вероятность извлечения карты, не являющейся тузом, равна 1–4/52 = 48/52.

Чем больше значение вероятности внутри интервала от 0 до 1, тем более мы уверены в наступлении случайного события. Неформальную интерпретацию вероятности наступления случайного события иллюстрирует рис. 1.2.

В обыденной жизни мы часто употребляем термин «вероятность» в менее формальном значении. Так, люди часто оценивают шансы. Если шансы 1 к 1, то вероятность равна 1/2; если шансы 1 к 2, то вероятность равна 1/3, и т. д. Люди также иногда говорят: «Вероятность равна 30 %». Следует избегать подобных определений и всегда иметь дело с вероятностью как с числом между 0 и 1. Такая интерпретация гораздо яснее.