7.5. Теорема Пуассона
В теореме Бернулли устанавливается связь между относительной частотой появлений события и его вероятностью p при условии, что последняя от опыта к опыту не изменяется. Теорема Пуассона устанавливает связь между относительной частотой появления события и некоторой постоянной величиной при переменных условиях опыта.
Теорема Пуассона. Если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в i-м опыте равна pi, то при увеличении n относительная частота появления события m/n сходится по вероятности к среднему арифметическому значению вероятностей pi, т. е.
(7.9)
Для конечного n будем иметь:
(7.10)
Каким
бы ни было ε,
при
n→
∞ величина дроби
,
а вероятность
Пример 8.9. Одинаковые партии изделий размешены в 11 ящиках, причем доли первосортных изделий в них составляют 0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0.8; 0,9; 1,0. Из каждого ящика наудачу извлечено по одному изделию. Определим вероятность того, что доля первосортных изделий в выборке будет отличаться от средней арифметической доли менее чем на 0,2.
Решение. По условию задачи: n = 11; p1 = 0,0; p2 = 0,1; p3 = 0,2; p4 = = 0,3; p5 = 0,4; р6 = 0,5; p7 = 0,6; p8 = 0,7; p9 = 0,8; p10 = 0,9; p11 = 1,0; ε = 0,2.
Применив формулу (7.10), получим
=
= 1–0,0 + 0,09 + 0,16 + 0,21 + 0,24 + 0,25 + 0,24 + 0,21 + 0,16 + 0,09 +
+ 0,0)/(121∙0,04) = 1–1,165/4,84 = 0,64.
* Конспект лекций подготовлен на материале учебного пособия: Теория статистики с основами теории вероятностей: учеб. пособие для втузов / И. И. Елисеева, В. С. Князевский, Л. И. Ниворожкина, З. А. Морозова; под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Изд-во ЮНИТИ, 2001.