Гипергеометрический закон распределения

т	0	1
P2,m	0,900	0,100

2. По условию задачи n = 2, р = 1/20 = 0,05, q = 0,95, случайная величина т имеет возможные значения: 0, 1, 2. По формуле Бернулли вычислим вероятности P_n,m: P_2,0 = C₂⁰0,05⁰0,95² = 110,95² = 0,9025, P_2,1=C₂¹0.050,95 = 20,050,95 = 0,0950, P_2,2 = C₂⁰0.05²0,95⁰ =10,05² = = 0,0025 (табл. 4.10).

Таблица 4.10

Биномиальный закон распределения

т	0	1	2
P2,m	0,9025	0,0950	0,0025

Пример 4.13. Из 20 лотерейных билетов выигрышными являются 4. Наудачу извлекаются 4 билета. Требуется:

1) построить закон распределения числа выигрышных билетов среди отобранных;

2) построить биномиальное распределение выигрышных билетов, для р = 0,2, п = 4;

3) сопоставить результаты решения примеров 4.12 и 4.13.

Решение:

1. По условию задачи N = 20, К = 4, n = 4. По формуле (4.14) вычисляем вероятности Р_4,т (т = 0, 1, 2, 3, 4) и строим гипергеометрическое распределение (табл. 4.11):

P_4,0 = C₄⁰C₁₆⁴/C₂₀⁴ = 0,3756; P_4,1 = C₄¹C₁₆³/C₂₀⁴ = 0,4623;

P_4,2=C₄²C₁₆²/C₂₀⁴ = 0,1486; P_4,3 = C₄³C₁₆¹/C₂₀⁴ = 0,0132;

P_4,4 = C₄⁴C₁₆⁰/C₂₀⁴ = 0,0002.

Таблица 4.11

Гипергеометрическое распределение

т	0	1	2	3	4
P4,m	0,3756	0,4623	0,1486	0,0132	0,0002

2. По условию задачи п = 4; за постоянное значение вероятности p принимаем долю выигрышных билетов: р = 4/20 = 0,2; q = 16/20 = 0,8. По формуле Бернулли вычисляем вероятности для всех возможных значений т (0, 1, 2, 3, 4) и строим биномиальный закон распределения (табл. 4.12)

P_4,0 = C₄⁰0.2⁰ 0,8⁴ = 0,4096, P_4,1 = C₄¹0.2¹ 0,8³ = 0,4096,

P_4,2 = C₄² 0.2² 0,8² = 0,1536, P_4,3 = C₄³ 0.2³ 0,8¹ = 0,0256,

P_4,4 = C₄⁴ 0.4⁴ 0,8⁰ = 0,0016.

Таблица 4.12

Гипергеометрическое распределение

m	0	1	2	3	4
P4,m	0,4096	0,4096	0,1536	0,0256	0,0016

3. В примере 4.12, где отношение n/N мало (n/N = 2/20 = 0,1), расхождение вероятностей, вычисленных двумя способами (табл. 4.11 и 4.12), невелико. Его максимальное значение равно 0,005 (0,100–0,095). В примере 4.13, где отношение n/N в два раза больше (n/N = ⁴/₂₀ = = 0,2), максимальное расхождение достигает значительной величины – 0,052 (табл. 4.11 и 4.12).

В случае выбора из большой генеральной совокупности биномиальное распределение более удобно, чем гипергеометрическое. Важно понять, однако, что гипергеометрическое распределение – более корректно для выборок без возврата.

Вообще при достаточно большом значении N и малом объеме выборки п (когда ) гипергеометрическое распределение практически совпадает с биномиальным. Кроме того, при условии гипергеометрическое распределение является трехпараметрическим (N, К, п), табулирование которого затруднено, и его можно аппроксимировать двухпараметрическим (n, р) биномиальным.