7.3. Теорема Чебышева (частный случай)

Теорема устанавливает в количественной форме связь между средней арифметической наблюдаемых значений случайной величины X и М(X) = а.

Теорема. При неограниченном увеличении числа n независимых испытаний средняя арифметическая наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т. е. для любого положительного ε

Р(| – а| < ε) = 1. (7.5)

Смысл выражения « сходится по вероятности к a» состоит в вероятности того, что будет сколь угодно мало отличаться от a, неограниченно приближаясь к 1 с ростом n. Для конечного n

Р(| – M(X)| < ε) ≥ 1 –D(X)/(n∙ε²). (7.6)

Если в (7.6) взять сколь угодно малое ε >0 и n , то

что и доказывает теорему Чебышева.

Из рассмотренной теоремы вытекает важный практический вывод. Он состоит в том, что неизвестное нам значение математического ожидания случайной величины мы вправе заменить средним арифметическим значением, полученным по достаточно большому числу опытов. При этом чем больше опытов для вычисления, тем с большей вероятностью (надежностью) можно ожидать, что связанная с этой заменой ошибка ( – а) не превзойдет заданную величину ε.

Кроме того, можно решать другие практические задачи. Например, по значениям вероятности (надежности) Р = Р(| – а|< ε и максимальной допустимой ошибке ε, определить необходимое число опытов n; по Р и п определить ε; по ε и п определить границу вероятности события | –а|<ε.

Пример 7.4. Дисперсия случайной величины X равна 4. Определим, сколько потребуется произвести независимых опытов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно было ожидать, что среднее арифметическое значение этой случайной величины будет отличаться от математического ожидания менее чем на 0,5?

Решение. По условию задачи ε = 0,5; Р(| – а| < 0,5) ≥ 0,9; n = ? Применив формулу (7.6), получим P(| – M(X)| < ε) ≥ ≥ 1–D(X)/(n∙ε²). Из соотношения 1–D(X)/(nε²) = 0.9 определяем п = D(X)/(0,1ε²) = 4/(0,1∙0,25) = 160.

Если использовать утверждение, что в любом случае средняя арифметическая распределена примерно нормально, то получаем:

Р(| –а|< ε) = 2Φ₀( ≥ 0,9. Откуда, воспользовавшись таблицей интеграла вероятностей, получим ≥ 1,645, или ≥ 6,58, т. е. n ≥ 49.

Пример 7.5. Дисперсия случайной величины D(X) = 5. Произведено 100 независимых опытов, по которым вычислено . Вместо неизвестного значения математического ожидания а принята . Определим максимальную величину ошибки, допускаемой при этом, с вероятностью не менее 0,8.

Решение. По условию n = 100, Р(| – а|< ε) ≥ 0,8. ε = ? Применяем формулу (7.6)

Р(| -а|< ε) ≥ 1–D(X)/(nε²).

Из соотношения 1–D(X)/(nε²) = 0,8 определяем ε

ε² = D(X)/(0,2∙n) = 5/(0,2∙100) = 0,25; ε = 0,5.

7.4. Теорема Бернулли

Пусть произведено п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события А постоянна и равна Р.

Теорема Бернулли. При неограниченном возрастании числа независимых испытаний п относительная частота m/n появления события А сходится по вероятности к вероятности p события А, т. е.

где ε – сколь угодно малое положительное число. Для конечного n при условии, что , неравенство Чебышева для случайной величины m/n будет иметь вид

P(|m/n–p|< ε) ≥1– pq/(n ε²). (7.8)

Каким бы малым ни было число ε, при n → ∞ величина дроби pq/(n∙ε²)→0, а P(|m/n–p|< ε)→1.

Из теоремы Бернулли следует, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота т/п появления события практически утрачивает свой случайный характер, приближаясь к постоянной величине p – вероятности данного события. В этом и состоит принцип практической уверенности.

Пример 7.6. С целью установления доли брака по схеме возвратной выборки было проверено 1000 единиц продукции. Какова вероятность того, что установленная этой выборкой доля брака по абсолютной величине будет отличаться от доли брака по всей партии не более чем на 0,01, если что в среднем на каждые 10 000 изделий приходится 500 бракованных?

Решение. По условию задачи число независимых испытаний n = 1000.

p = 500/10 000 = 0,05; q = 1 – p = 0,95; ε = 0,01. P(|m/n–p| < 0,01?

Применив формулу (7.8), получим

P(|m/n–p| < 0,01) ≥ 1–pq/(nε²) = 1–0,05∙0,95/(1000∙0,0001) = 0,527.

Итак, с вероятностью не менее 0,527 можно ожидать, что выборочная доля брака (относительная частота появления брака) будет отличаться от доли брака во всей продукции (от вероятности брака) не более чем на 0,01.

Пример 7.7. При штамповке деталей вероятность брака составляет 0,05. Сколько нужно проверить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было ожидать, что относительная частота бракованных изделий будет отличаться от вероятности брака менее чем на 0,01?

Решение. По условию задачи р = 0,05; q = 0,95; ε = 0,01.

P(|m/n–p|< 0,01) ≥ 0,95; n = ? Из равенства 1–pq/(nε²) = 0,95

находим:

n = pq/(0,05ε²) = 0,05∙0,95/(0,05∙0,0001) = 9500.

Замечание. Оценки необходимого числа наблюдений, получаемые при применении теоремы Бернулли (или Чебышева) очень преувеличены. Существуют более точные оценки, предложенные Бернштейном и Хинчиным, но требующие применения более сложного математического аппарата. Чтобы избежать преувеличения оценок, иногда пользуются формулой Лапласа

P(|m/n–p|<ε) ≈ 2Φ₀ .

Недостатком этой формулы является отсутствие оценки допускаемой погрешности.