- •1. Основные понятия, определения и теоремы теории вероятностей*
- •1.1. Алгебра событий. Основые понятия теории множеств
- •1.2. Основные определения: испытание, событие. Классификация событий
- •1.3. Классическое определение вероятности. Свойства, вытекающие из этого определения
- •Значение вероятности
- •1.4. Основные теоремы теории вероятностей
- •1.5. Зависимые и независимые события
- •2. Формула полной вероятности и формула Бейеса
- •2.1. Формула полной вероятности
- •3. Случайные величины
- •3.1. Дискретные случайные величины
- •Ряд распределения случайной величины X
- •3.4. Ожидаемое среднее значение дискретной случайной величины
- •Вычисление математического ожидания числа рекламных
- •3.5. Свойства математического ожидания случайной дискретной величины
- •Возможные исходы лотереи
- •3.6. Ожидаемое среднее значение функции случайной величины
- •Ряд распределения числа месячных продаж
- •К вычислению среднего ожидаемого значения
- •3.7. Дисперсия дискретной случайной величины
- •К вычислению дисперсии случайной величины
- •3.9. Дисперсия линейной функции случайной величины
- •4. Законы распределения дискретных случайных величин
- •Формула Бернулли. Биномиальные вероятности
- •4.3. Биномиальный закон распределения
- •Биномиальное распределение
- •Биномиальное распределение X – числа гербов, появляющихся
- •Фрагмент таблиц ряда и функции биномиального распределения
- •Биномиальное распределение числа покупателей
- •Распределения
- •4.5. Распределение Пуассона
- •Закон распределения Пуассона
- •Сравнение вероятностей, полученных по формулам Бернулли и Пуассона
- •4.6. Гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрический закон распределения
- •Биномиальный закон распределения
- •Гипергеометрическое распределение
- •4.7. Производящая функция
- •4.8. Мультиномиальное распределение
- •4.9. Геометрическое распределение
- •5. Непрерывные случайные величины
- •6. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •7. Закон больших чисел
- •7.1. Принцип практической уверенности. Формулировка закона больших чисел
- •7.2. Неравенства Маркова и Чебышева
- •7.3. Теорема Чебышева (частный случай)
- •7.4. Теорема Бернулли
- •7.5. Теорема Пуассона
4.7. Производящая функция
Выше были рассмотрены способы определения вероятности Рn,m для случаев, когда вероятность события А во всех п независимых испытаниях одна и та же. На практике приходится встречаться и с такими случаями, когда вероятность наступления события А от испытания к испытанию меняется.
Пример 4.14. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы (за время t) первого элемента равна 0,9, второго – 0,8 и третьего – 0,7. Составим закон распределения числа элементов, вышедших из строя.
Пусть проведено два независимых испытания. Вероятность появления события А в первом из них – p1, во втором – р2; вероятности непоявления события А соответственно равны q1 = 1– p1; q2 = 1– р2. Требуется определить вероятности P2,0, P2,1, P2,2, т. е. вероятности появления события А ровно 0 раз, ровно 1 раз и ровно 2 раза в двух независимых испытаниях.
Решение. Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий, получим: P2,0 = q1q2; P2,1 = p1q2 + q1p2; P2,2 = p1p 2. Пусть теперь проведено три независимых испытания с вероятностями появления события А: p1, p2, p3. Вероятности непоявления события А в первом, во втором и третьем опытах соответственно равны q1 = 1– p1, q2 = 1– р2, q3 = 1– р3. Определим вероятности P3,0, P3,1, P3,2, P3,3, т.е. вероятности появления события А ровно 0 раз, ровно 1 раз, ровно 2 раза и ровно 3 раза в трех независимых испытаниях.
Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей для независимых событий, получим: P3,0 = q1q2 q3; P3,1 = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3; P3,2 = p1p2q3 + p1q2p3 + + q1p2p3; P3,3 = p1p2p3.
Эти вероятности можно получить, если перемножить три бинома
и привести подобные члены. Тогда коэффициенты при zm будут соответствовать вероятностям P3,m(m = = 0, 1, 2, 3). Здесь z произвольный параметр. Для n независимых испытаний получим
·
Выражение обозначают
и называют производящей функцией.
4.8. Мультиномиальное распределение
Напомним, что в биномиальном эксперименте мы классифицируем исходы как успехи и неуспехи. Если обобщить ситуацию, то исходы можно классифицировать более чем по двум категориям. Предположим, есть k категорий исходов: «покупка товара А», «покупка товара В», «покупка товара К». Обозначим Х1 – число проданных единиц товара A, Х2 – число проданных единиц товара В,...., Хk – число проданных единиц товара К. Вероятностное распределение Х1, Х2,..., Хk в выборке объемом п есть мультиномиальное распределение с параметрами п и вероятностями р1, р2,…, рk, где рi – вероятность появления категории i (рi = 1 – qi), и они остаются неизменными от испытания к испытанию и испытания независимы.
Формула мультиноминального распределения имеет следующий вид:
P(Х1, Х2,., Хk) = n!/(Х1! Х2! ...∙Хk!)∙р1x1∙р2x2 ·…∙рkxk. (4.17)
Пример 4.15. Предположим, что из общего числа семей, живущих на данной территории, 25 % имеют душевые доходы ниже прожиточного минимума (черты бедности), 35 % имеют доходы, равные среднедушевым доходам, у 20 % доходы в полтора раза выше средних, а у остальных 20 % семей доходы в два и более раза превышают средний душевой доход для данной территории. Пусть А1 – случайное событие, состоящее в случайном отборе семьи, которая принадлежит к первой группе. А2, А3 и А4 – аналогичные события, состоящие в случайном отборе семей, которые принадлежат соответственно ко второй, третьей и четвертой доходным группам.
По условию p1 = 0,25; р2 = 0,35; р3 = 0,20; р4 = 0,20. Предположим, что для целей обследования необходимо провести случайный повторный отбор 50 семей для обследования уровня жизни населения. Определим вероятность того, что все отобранные семьи будут бедными (с доходом ниже прожиточного минимума).
Решение. По формуле (4.17) имеем: P(Х1 = 50, Х2 = 0, Х3 = 0, Х4 = 0) = 50!/(50!∙0!∙0!∙0!)∙0,2550∙0,350∙0,200∙0,200 = 0,2550 ≈ 0.