7.2. Неравенства Маркова и Чебышева

Доказательство закона больших чисел основано на неравенстве Чебышева. Неравенство Маркова в литературе иногда называется леммой Маркова или леммой Чебышева, так как оно является частным случаем неравенства Чебышева.

Лемма Маркова. Если случайная величина Х не принимает отрицательных значений, то для любого положительного числа α справедливо неравенство

P(Х ≥ α ) ≤ М(Х/α). (7.1)

События Х < α и Х ≥ α – противоположные, поэтому, используя (7.1), получаем

Р(Х < α ) = 1–Р(Х ≥ α ) ≥ 1– М(Х)/α . (7.2)

Выражения (7.1–7.2) справедливы для дискретных и непрерывных случайных величин.

Пример 7.1. Дана случайная величина X:

Xi	2	4	6	8	10	12
Pi	0,1	0,2	0,25	0,15	0,15	0,15

Пользуясь неравенством Маркова, оценим вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее 11.

Решение. Исходя из условия, будем рассуждать так:

(Х < 11) = Р(X = 2) + Р(Х = 4)+ Р(Х = 6) + Р(Х = 8)+Р(Х = 10) =

= 0,1 + 0,2 + 0,25 + 0,15 + 0,15 = 0,85.

Используя неравенство Маркова (7.2), получаем

Р(Х < 11) ≥1 – М(Х)/11 = 1–(2·0,1 + 4·0,2 + 6·0,25 + 8·0,15 + 10·0,15 +

+ 12·0,15)/11 = 1– (0,2 + 0,8 + 1,5 + 1,2 + 1,8)/11 = 1 – 7/11 =

= 1 – 0,636 = 0,364. Р(Х < 11) ≥ 0,364.

Пример 7.2. Сумма всех вкладов в некоторой сберегательной кассе составляет 20 000 000 руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад меньше 100 000, равна 0,8. Определим число вкладчиков сберегательной кассы.

Решение. Пусть X – величина случайно взятого вклада, а n – число всех вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что М(Х) = = 20 000 000/n; Р(X < 100 000) = 0,8, и по неравенству Маркова Р(X < < 100 000) ≥ 1– М(Х)/100 000.

Таким образом, 0,8 ≥ 1 – 20 000 000 / (n·100 000); 20 000 000 / / (n·100 000) ≥ 0,2; 200 ≥ n·0,2; n ≤ 1000.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше данного положительного числа ε, ограничена снизу величиной

1–D(X)/ε², т.е. Р(|X – M(X)|< ε) ≥ 1–D(X)/ε². (7.3)

Из (7.3) переходом к противоположному событию можно получить:

Р(|X–M(X) | ≥ ε) ≤ D(X)/ε². (7.4)

Пример 7.3. Вероятность наступления некоторого события р = 0,3 в каждом из n = 900 независимых испытаний. Используя неравенство Чебышева, оценим вероятность того, что событие повторится число раз, заключенное в пределах от m₁ = 240 до m₂ = 300.

Решение. Здесь по условиям задачи имеет место биномиальный эксперимент. Следовательно, М(X) = а = пр = 900∙0,3 = 270;

ε = |240–270| = |300–270| = 30; D(X) = npq = 900∙0,3∙0,7 = 189;

Р(|X–270| < 30) ≥ 1 – D(X)/ε² = 1–189/30² = 1–0,21 = 0,79,

т.е. Р(|X–270| < 30 ≥ 0,79.