Теорема 1,2.

Определения предела функции в точке a по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство. Пусть f(x) = b по Коши. (1) Требуется доказать, что  {x_n}  a (x_n  a) соответствующая последовательность {f(x_n)}  b, то есть   > 0  N,  n > N: f(x_n) - b < . (2) Рассмотрим произвольную последовательность {x_n}  a (x_n  a). Возьмем  > 0. В силу условия (1)   > 0,  x  {0 <x - a < }: f(x) - b < . (3) В свою очередь, так как {x_n}  a (x_n  a),

то для указанного   N,  n > N: 0 <x_n - a <  (4). Из (4) и (3) следует, что  n > N: f(x_n) - b < , то есть выполнено условие (2), что и требовалось доказать. Пусть f(x) = b по Гейне. (5) Предположим, что f(x)  b по Коши.

Тогда   > 0 такое, что   > 0  x {0 <x - a< }: f(x) - b . Возьмем какую-нибудь последовательность {_n}  +0 (_n > 0). Например, можно взять _n = . Согласно сказанному выше,  _n  x_n  : f(x_n) - b . (7) Из (6) следует, что {x_n}  a (x_n  a). Отсюда в силу условия (5) следует, что {f(x_n)}  b, и поэтому = 0. С другой стороны, в силу неравенства (7)   > 0. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f(x) = b по Коши. Теорема доказана.

Теорема 7,8.

Любая ограниченная последовательность имеет верхний и нижний пределы.

Доказательство. Пусть {x_n} - ограниченная последовательность. Обозначим через {a} множество всех предельных точек этой последовательности. Так как это множество ограничено и непустое, то оно имеет точные грани. Обозначим = Sup {a}, = inf {a}. Достаточно доказать, что  {a},  {a}. Проведем доказательство для . Рассмотрим произвольную -окрестность точки и, кроме того, рассмотрим -окрестность точки . По определению точной верхней грани, существует точка a  {a}: a  { -окрестности точки a}, а по определению 2 предельной точки в -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}. Но { -окрестность точки a}  {-окрестности точки }, тем самым, в -окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}, а это и означает, что - предельная точка последовательности {x_n}, то есть  {a}. теорема доказана.

Теорема 10.

Пусть f(x)- монотонная и ограниченная на полупрямой (а, + ), тогда существует f(x).

Доказательство: Пусть, для определённости f(x) не убывает и ограничена сверху на (а, + ). Тогда она имеет на (а, + ) точную верхнюю грань. Введём обозначение: f(x) = b. Докажем, что f(x) = b. Зададим произвольное  > 0 и рассмотрим число b -  < b, по определению точной верхней грани  А: f(A) > b - . Так как f(x)  f(a) при x  A, то f(x) > b -  при x  A, или b - f(x) <  при x  A, то есть | f(x) - b | <  при x  A. а это и означает, что f(x) = b. Теорема доказана.

Теорема 13.

Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть {x_n} - фундаментальная последовательность. Возьмем какое-нибудь положительное , например,  = 1. По определению фундаментальности,  N,  n >N и  m > N:x_m-x_n < 1. Зафиксируем какое-нибудь m₀ > N, тогда < 1 при n >N, или - 1 < x_n < + 1 при n >N. Таким образом, все члены последовательности с номерами n >N лежат в интервале - 1, + 1), вне этого интервала лежит только конечное число членов последовательности. Это и означает, что последовательность {x_n} ограничена. Теорема доказана.

Теорема 14,15 (критерий Коши сходимости последовательности).

Для того, чтобы числовая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. Необходимость. Последовательность {x_n} сходится. Требуется доказать, что последовательность {x_n} - фундаментальная. Пусть =a. Зададим произвольное  > 0. По определению предела,  N,  n > N:x_n-a < , и  m > N:x_m-a < . Если n > N, m > N, то x_m-x_n=(x_m-a) - (x_n-a) + < . Это и означает по определению, что последовательность {x_n} - фундаментальная. Необходимость доказана.

Достаточность. Последовательность {x_n} - фундаментальная. Требуется доказать: {x_n} сходится. По лемме 2, последовательность {x_n} ограничена, следовательно, можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть = a. Докажем, что = a. Зададим произвольное  > 0. Так как подпоследовательность сходится к a, начиная с некоторого номера N₁ все члены  { - окрестности точки a}, а так как последовательность {x_n} - фундаментальная, то начиная с некоторого номера N₂ все члены x_n отстоят от членов меньше, чем на . Следовательно, начиная с номера N = max (N₁, N₂) все члены последовательности x_n  {- окрестности точки a}, а это и означает, что = a, что и требовалось доказать. Теорема доказана.