Теорема 16,17 (Критерий Коши).
Для того, чтобы функция имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в этой точке условию Коши.
Доказательство. Определение.
Пусть a - предельная точка области определения f(x). Говорят, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если > 0 > 0, x' и x'', 0 <x' - a < , 0 <x''- a < : f(x') - f(x'') < . Условие Коши для функции аналогично условию фундаментальности последовательности.
Необходимость.
Дано:
f(x)
= b.
Требуется доказать: f(x)
удовлетворяет в точке a
условию Коши. Зададим произвольное
> 0. Согласно определению предела
функции по Коши,
> 0,
x'
{0 <x'
- a
< },
f(x')
- b
<
,
и
> 0,
x''
{0 <x''
- a
< },
f(x'')
- b
<
.
Отсюда
следует,
что
x'
{0 <x'
- a
< }
и
x''
{0 <x''
- a
< }:
f(x')
- f(x'')
= (
f(x')
- b)
- (f(x'')
- b)
+
< .
А это и
означает, что f(x)
удовлетворяет в точке a
условию Коши. Необходимость доказана.
Достаточность. Дано: f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши. Требуется доказать: f(x). Согласно определению предела функции по Гейне, нужно доказать, что {xn} a (xn a) {f(xn)} сходится, причем сходится к одному и тому же числу для всех {xn} a (xn a). Рассмотрим произвольную последовательность {xn} a (xn a). Докажем сначала, что последовательность {f(xn)} - фундаментальная. Зададим произвольное > 0. Согласно условию (1), > 0, x' и x'', 0 <x' - a < , 0 <x''- a < : f(x') - f(x'') < . (2) В свою очередь, так как {xn} a и xn a, то N, n > N: 0 < xn - a< , m > N: 0 < xm - a< . (3) Из (2) и (3) следует, что n > N и m > N: f(xn) - f(xm) < . А это и означает по определению, что последовательность {f(xn)} - фундаментальная. Следовательно, она сходится. Итак, мы доказали, что {xn} a (xn a): {f(xn)} сходится. Остается доказать, что для всех таких последовательностей {xn}: {f(xn)} сходится к одному и тому же числу. Пусть для {xn} a (xn a): {f(xn)} b, а для {xn'} a (xn' a): {f(xn')} b'. Нужно доказать, что b' = b. Составим последовательность {xn''} = x1 , x1' , x2 , x2' , … , xn , xn'' , … {xn''} a (xn'' a). Согласно доказанному, {f(xn'')} b'', но {f(xn)} и {f(xn')} - подпоследовательности последовательности {f(xn'')}, следовательно, эти подпоследовательности сходятся к b'', а это и означает, что b = b' = b'', что и требовалось доказать. Теорема доказана.
Теорема 18, 19,20.
Если функции u(x)
и v(x)
дифференцируемы в точке х,
то их сумма, разность, произведение,
частное(при условии v(x)
0) также дифференцируемы в точке х,
и справедливы равенства: [u(x)
v(x)]'
= u'(x)
v'(x).
[u(x)v(x)]'
= u'(x)v(x)
+ u(x)v'(x).
=
(v(x)
0)
Доказательство: Докажем, например формулу 2). Обозначим у = u(x)v(x). Тогда у = u(x+х)v(x+х) - u(x)v(x) = [u(x + х) - u(x)]v(x+ х) + u(x)[v(x + х) - v(x)] = uv(x + х) + u(x) v. Поэтому
=
v(x
+х)
+ u(x)
Отсюда получаем:
при х 0
u'(x) v(x) u(x) v'(x).
=
u'(x)v(x)
+ u(x)v'(x),
то есть y'
= (uv)'
= u'v
+ uv'.
Формула 2) доказана.