Теорема 48(о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков концах отрезка).

Если f(x) непрерывна на [a, b] и f(а) f(b) < 0, то  c  [a, b]: f(c) = 0.

Доказательство: Пусть для определённости f(а) < 0, f(b) > 0. Тогда, в силу устойчивости знака непрерывной функции, найдётся правая полуокрестность точки а, в которой f(x) < 0. Рассмотрим множество Х таких точек [a, b], что f(x) < 0 на [a, ). X ={ : [a, b], f(x) < 0 на [a, )}. Это множество непустое, ограниченное сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань: с  sup X. Отметим, что x < c: f(x) < 0. (1) Докажем, что f(с) = 0. Допустим, что это не так. Предположим, что f(с) > 0. Тогда  f(x) > 0 в некоторой окрестности точки c, и, следовательно,  x < c: f(x) > 0, что противоречит (1). Предположим, что f(с) < 0. Тогда f(x) < 0 в некоторой окрестности точки с.Следовательно,  > c: f(x) < 0 на [a, ), а это противоречит тому, что c = sup X. Значит, наше предположение неверно, и f(c) = 0.Теорема доказана.

Теорема 49 (первая теорема Вейерштрасса).

Непрерывная на сегменте функция ограничена на этом сегменте.

Доказательство. Допустим, что f(x) не ограничена на этом сегменте, то есть  натурального n  x_n  [a, b]:  f(x_n) > n. (1) Рассмотрим последовательность {x_n}. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть  c.Так как все  [a, b], то и c  [a, b], значит, f(x) непрерывна в точке c (по условию), поэтому  f(с).С другой стороны, в силу (1) > k_n , и значит, последовательность - бесконечно большая, то есть, эта последовательность расходится.Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f(x) ограничена на [a, b]. Теорема доказана.

Теорема 50 (вторая теорема Вейерштрасса).

Непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте своих точных граней.

Доказательство. Проведем доказательство для точной верхней грани. Допустим, что f(x), непрерывная на сегменте [a, b], не принимает ни в одной точке значения M = f(x), тогда  x  [a, b]: f(x) < M. Введем функцию: F(x) = > 0 и непрерывна на [a, b]. По теореме 49,  A > 0,  x  [a, b]: F(x) =  A.  x  [a, b]: f(x)  M - < M. Но это противоречит тому, что M – наименьшая из верхних граней функции на [a, b]. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, функция достигает на сегменте [a, b] своей точной верхней грани. Теорема доказана.

Теорема 52 (Кантора).

Непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на этом сегменте.

Доказательство. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b]. Допустим, что она не является равномерно непрерывной на этом сегменте. Тогда   > 0 - такое, что   > 0  x' и x''  [a, b], x''-x' < , но f(x'') - f(x')  . Возьмем какую-нибудь последовательность {_n}  +0 (_n > 0). В силу нашего предположения,  _n  x_n' и x_n''  [a, b], x_n''-x_n' < , (1) f(x_n'') - f(x_n')  . (2) Рассмотрим последовательность {x_n'}. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть  с  [a, b]. Потому f(x) непрерывна в точке c. В силу (1) подпоследовательность  с, а так как f(x) непрерывна в точке c, то  f(c) - f(c) = 0. С другой стороны, в силу неравенства (2)   > 0. Полученное доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f(x) равномерно непрерывна на [a, b]. Теорема доказана.

Замечание. Для интервала или полусегмента теорема неверна

Теорема 53, 55 (достаточное условие возрастания функции в точке c).

Если f(x) дифференцируема в точке c и f'(c) > 0 (< 0), то f(x) возрастает (убывает) в точке c.

Доказательство. По определению производной, f'(c) = . В свою очередь, по определению предела   > 0   > 0 - такое, что <  при 0 < x - c < , или f'(c) -  < < f'(c) +  в -окрестности точки c (x  c). Рассмотрим случай, когда f'(c) > 0. Возьмем  = f'(c). Из подчеркнутого неравенства следует, что > 0 в -окрестности точки c (x  c). в -окрестности точки c (x  c). Это и означает, что то f(x) возрастает в точке c. Теорема доказана.

Теорема 60 (первое достаточное условие локального экстремума).

Пусть c – точка возможного экстремума функции f(x), и пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки c.

Тогда: Если f ‘(x) в указанной окрестности точки c, то в точке c функция f(x) имеет локальный min. Если f ‘(x) в указанной окрестности точки c, то в точке c функция f(x) имеет локальный max. Если f ‘(x) одного знака слева и справа от точки c, то в точке c экстремума нет.

Доказательство. По определению локального минимума, нужно доказать, что в некоторой окрестности точки c f(x) > f(c), или f(x) - f(c) > 0 при x  c. Рассмотрим окрестность точки c, указанную в условии теоремы. Пусть x лежит в этой окрестности, и x  c.Тогда f(x) непрерывна на [c, x] и дифференцируема в (c, x). По формуле Лагранжа получаем: f(x) - f(c) = f ‘()(x – c), где c  x. Если x > c, то  > c, поэтому f ‘() > 0 => f(x) - f(c) > 0. Если x < c, то  < c, поэтому f ‘() < 0 => f(x) - f(c) > 0. Таким образом, в указанной окрестности точки c f(x) - f(c) > 0 при x  c, то есть в точке c функция имеет локальный минимум. Если f ‘(x) одного знака слева и справа от точки c, то из формулы Лагранжа получим, что f(x) - f(c) имеет разные знаки справа и слева от точки c, а это и означает, что в точке c экстремума нет. Теорема доказана.

Теорема (второе достаточное условие локального экстремума.

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке c, и пусть f ‘(c) = 0, f ‘’(c)  0. Тогда в точке c функция имеет локальный экстремум: если f ‘’(c) > 0, то локальный min, если f ‘’(c) < 0, то локальный max.

Доказательство. Неравенство нулю второй производной в точке c показывает, что в окрестности точки c выполнены условия теоремы 60. Теорема доказана.

Теорема 61 (необходимое условие точки перегиба).

Если в точке M(a, f(a)) график функции имеет перегиб и в точке a f(x) имеет непрерывную f ''(x), то f ''(a) = 0.

Доказательство. Допустим, что f ''(a)  0. Пусть, например, f ''(a) > 0. Тогда, в силу устойчивости знака непрерывной функции, найдется окрестность точки a, в которой справа и слева от точки a f ''(x) > 0, поэтому, в этой окрестности справа и слева от точки a график направлен выпуклостью вниз, но это противоречит тому, что в точке M(a, f(a)) график функции имеет перегиб. Таким же образом можно показать, что неравенство f ''(a) < 0 также не выполнено. Остается принять, что f ''(a)  0. Теорема доказана.

Теорема 62(первое достаточное условие перегиба).

Пусть точка M(a, f(a)) - точка возможного перегиба графика функции y = f(x), и пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки a, причем f ''(x) имеет разные знаки справа и слева от точки a. Тогда в точке M(a, f(a)) график функции имеет перегиб.

Доказательство .Так как f ''(x) имеет разные знаки справа и слева от точки a в указанной окрестности этой точки, то в этой окрестности справа и слева от точки a график имеет разные направления выпуклости, а это и означает по определению, что в точки M график имеет перегиб. Теорема доказана.

Теорема 63 (второе достаточное условие перегиба ).

Пусть функция y = f(x) трижды дифференцируема в точке a, и пусть f ''(a) = 0, f '''(a)  0.

Тогда в точке M(a, f(a)) график функции имеет перегиб.

Доказательство. Так как f '''(a)  0, то f ''(x) возрастает в точке a, если f '''(a) > 0, либо f ''(x) убывает в точке a, если f '''(a) < 0. В любом случае, найдется окрестность точки a, в которой справа и слева от точки a f ''(x) имеет разные знаки. Тем самым, выполнены условия теоремы 8.5 и, следовательно, в точке M(a, f(a)) график функции имеет перегиб. Теорема доказана

Теорема 64, 65.

Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на интервале [a, b]. Тогда, если  x  (a, b):

f ''(x)  0 ( 0), то на этом интервале график направлен выпуклостью вниз (вверх).

Доказательство .Пусть f ''(x)  0. Уравнение касательной имеет вид: Y - f(c) = f '(c)(x - c), или Y(x) = f(c) + f '(c)(x - c) (1) Требуется доказать, что график функции y = f(x) в пределах интервала (a, b) лежит не ниже данной касательной, то есть  x  (a, b): y = f(x)  Y(x). Возьмем любое x  (a, b) и воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

y = f(x) = f(c) + f '(c)(x - c) + , (2)

где   (c, x). Вычитая (1) из (2), получим:y - Y =  0, то есть  x  (a, b): y  Y, что и требовалось доказать. Теорема доказана.