Биномиальное распределение числа покупателей

m = xi	Pn,m = pi	xipi	xi2pI
0 1 2 3	0,343 0,441 0,189 0,027	0 0,441 0,378 0,081	0 0,441 0,756 0,2643
	1	0,9

Математическое ожидание биномиального распределения проще вычислить по формуле (4.4) М(Х) = пр = 3∙0,3 = 0,9. Дисперсия σ² = D(X) = = npq =3∙0,3∙0,7 = 0,63. Построим график распределения (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Графическое представление биномиального

Распределения

При m = l (см. рис. 4.1) вероятность достигает максимального значения. Вероятнейшей частотой наступления события называется та частота, при которой вероятность достигает своего наибольшего значения и обозначается m₀. Для определения наивероятнейшего числа используем формулу:

пp – q ≤ m₀ ≤ np + p. (4.9)

В этом неравенстве т₀ может быть только целым числом. Если пр – целое число, то m₀ = пр.

Пример 4.5. Вероятность того, что выписанный продавцом чек будет оплачен, равна 0,9. Какое наивероятнейшее число чеков будет оплачено, если выписано 40 чеков?

Решение. Находим произведение пр = 40∙0,9 = 36 (целое число), значит, т₀ = 36. Найдем т₀ по формуле (4.9) 40∙0,9–0,1 ≤ т₀ ≤ 40∙0,9 + + 0,9; 35,9 ≤ m₀ ≥ 36.9. Этому двойному неравенству удовлетворяет целое число т₀ = 36.

4.5. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона (закон распределения редких событий) часто используется тогда, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или пространства (число машин, прибывших на автомойку в течение часа, число дефектов на новом отрезке шоссе длиной в 10 км, число мест утечки воды на 100 км водопровода, число остановок станков в неделю, число дорожных происшествии).

Если вероятность появления события А в п отдельных независимых испытаниях очень мала (р < q), то применяется формула Пуассона:

(4.10)

где λ = пр; п – число независимых испытаний с постоянной малой вероятностью р; е – основание натурального логарифма (е = 2,71828); т – число появлений события (т = 0, 1, 2, 3, ...).

При помощи формулы (4.10) можно записать закон распределения Пуассона. Его можно написать в виде ряда распределения (табл. 4.6), если, придавая m целые неотрицательные значения т = 0, 1, 2,..., n, вычислить соответствующие им вероятности Р_n,т.

Таблица 4.6

Закон распределения Пуассона

т	0	1	2	3	…	k	…	n
Рn,т	e–λ	λe–λ	λ2e–λ/2!	λ3e–λ/3!	…	λke–λ/k!	…	λne–λ/n!

Закон распределения Пуассона можно записать в виде функции распределения: λ^ke^–λ/k!

F(X) = P(m < x) = Р_n,т = λ^m/k! e^–λ,

(4.11)

где знак означает сумму вероятностей Р_п,т для всех т, мень- ших п.

Применяя формулу (4.11), можно определить вероятность появления события хотя бы один раз в п независимых испытаниях. Поскольку вероятности Р_{п,т ≥ 1} и Р_п,0 есть вероятности противоположных событий, то

(4.12)

По формуле (4.12) вычисляются вероятности появления события хотя бы один раз в п независимых испытаниях, если вероятность появления события в отдельных испытаниях постоянна и очень мала, а число испытаний достаточно велико (n ≥ 20), т. е. при условии применимости формулы Пуассона (4.10).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ, который определяет этот закон, т. е.

M(Х) = D(Х) = λ. (4.13)

Формула (4.13) устанавливает важный теоретико-вероятностный смысл параметра λ. Последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени, называется потоком событий (например, вызов на АТС).

При этом должны выполняться следующие условия.

Вероятность появления события одна и та же для любых двух интервалов равной длины.

Вероятность того, что событие появится в короткий интервал времени (или пространства), пропорциональна величине интервала.

В очень коротком интервале вероятность того, что два события появятся, близка к нулю.

Вероятность того, что любое число событий появится в интервале, не зависит от начала интервала.

Появление или непоявление события в определенном интервале не зависит от появления или непоявления события в любом другом интервале.

Пример 4.6. Предположим, нас интересует число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15 мин. Если мы предположим, что вероятность прибытия автомобиля одинакова в любые два периода времени равной длины и что прибытие или неприбытие автомобиля в любой период времени не зависит от прибытия или неприбытия в любой другой период времени, то последовательность прибытия инкассаторов в банк может быть описана распределением Пуассона.

Анализ предыдущих данных показал, что среднее число инкассаторов, прибывающих в 15-минутный период, равно 10, тогда при λ = 10 получаем: Р(т) = λ^me^–λ/m! = 10^me^–10/m! при т = 0, 1, 2, .…

Если мы хотим узнать вероятность прибытия пяти инкассаторов в течение 15 мин, то при m = 5 получим: Р(5) = 10⁵e^–10/5! = 0,0378.

Вероятности распределения Пуассона легче рассчитать, пользуясь специальными таблицами вероятностей распределения Пуассона. В них содержатся значения вероятностей при заданных т и λ.

Пример 4.7. Предположим, нас интересует число дефектов, появившихся на определенном участке шоссе через месяц после его асфальтирования. Мы предполагаем, что вероятность появления дефектов одна и та же на любых двух участках равной длины и что появление или непоявление дефектов на любом промежутке шоссе не зависит от появления дефектов на любом другом участке. Следовательно, для решения задачи можно использовать распределение Пуассона.

Предположим, мы выяснили, что количество дефектов спустя месяц после асфальтирования в среднем равно двум на километр. Найдем вероятность того, что на определенном участке шоссе длиной в 3 км мы не найдем ни одного дефекта спустя месяц после асфальтирования. Поскольку нас интересует интервал длиной в 3 км, то λ = = (2 деф/км)·(3 км) = 6.

Это – ожидаемое число дефектов на трехкилометровом участке шоссе. Отсюда, используя формулу (4.10) или таблицы распределения Пуассона с λ = 6 и т = 0, получаем, что вероятность отсутствия дефектов на трех километрах дороги равна 0,0025. Результат говорит о том, что отсутствие дефектов на изучаемом участке дороги весьма маловероятно. Вероятность того, что хотя бы один дефект появится на трех километрах вновь асфальтированной дороги, равна 1–0,0025 = = 0,9975.

Рассмотрим пример, в котором вероятности будут вычислены точно по формуле Бернулли (4.1) и приближенно по формуле Пуассона (4.10).

Пример 4.8. Проведено 25 независимых испытаний с вероятностью появления события А в каждом из них 0,01. Построим ряд распределения для случайной величины Х = т – числа появлений события А. Вероятность Р_n,m вычисляем двумя способами: по формуле Бернулли и по формуле Пуассона. Полученные результаты сравним и оценим погрешности приближенной формулы. По условию п = 25; р = 0,01; q = 0,99. Вычислим Р_n,m и сведем их в табл. 4.7.

Таблица 4.7