Решение задачи операторным методом

В этом случае также требуется первоначально составить дифференциальные уравнения в соответствии с первым и вторым законами Кирхгофа. Затем следует перейти от дифференциальных уравнений к операторным или, иначе говоря, от оригиналов функций f (t) к их изображениям F (p). Переход возможен на основе интегрального преобразования или с применением таблиц соответствия. К преимуществам операторного метода относят замену решения системы дифференциальных уравнений для оригиналов решением алгебраических уравнений для изображений и упрощение учета начальных условий [5, 6]. На последнем этапе расчета переходят от изображений к оригиналам, что возможно выполнить на основе таблиц соответствия или теоремы разложения.

При решении задач операторным методом можно составлять уравнения для изображений искомых величин, минуя этап составления дифференциальных уравнений [6]. В этом случае законы Кирхгофа в операторной форме в общем случае записываются в виде:

, (2.3)

где – операторное сопротивление ветви.

Такая запись использована при решении задачи операторным методом в главе 3.

Вид исходных дифференциальных уравнений (2.1), (2.2) не меня­ется.

Выполним переход от оригиналов к изображениям. Запишем для участка с параметрами X₁, R₁ уравнение в операторной форме. В наиболее общем виде [6] уравнение контура с параметрами R, L, C в операторной форме:

U (p) = (pL + R + 1/pC) i (p) – Li (0_–) + U_C (0_–) / p.

Участок с параметрами X₁, R₁ в соответствии с принятыми допущениями не содержит емкости, поэтому

U (p) = (pL₁ + R₁) i₁(p) – L₁i₁(0_–),

где i₁(0_–)  ток в контуре в момент t = 0_–.

Можно составить для участка с параметрами X₁, R₁ уравнение в операторной форме на основе соотношения (2.3). При этом вид последней записи не изменится. Отсюда

i₁(p) = [U (p) + L₁i₁(0_–)]/ (pL₁ + R₁).

Синусоидальной функции U_m sin (ωt + α) соответствует изображение U (p) = U_m [(p sin α + ω cos α)/(p² + ω²)], операторное выражение для напряжения достаточно громоздко, последующие расчетные выражения будут сложны. Целесообразно воспользоваться комплексным представлением напряжения источника U_m sin (ωt + α) = Jm {Ue^jωt}, т. е. изменяющееся по закону синуса напряжение источника может быть представлено как проекция вектора U_m на мнимую ось, как мнимая часть комплекса Uе^jωt. Изображение экспоненциального напряжения достаточно просто [6]: Ue^jωt  U/(p – jω). Таким образом:

i₁(p) ={[U/(p – jω)] + L₁i₁(0_–)]}/ (pL₁ + R₁).

Для участка цепи с параметрами X₂, R₂ после замыкания контакта уравнение в операторной форме:

0 = (pL₂ + R₂) i₂(p) – Li₂(0_–).

Отсюда

i₂(p) = [L₂i₂(0_–)]/ (pL₂ + R₂).

Для получения ответа перейдем от изображений к оригиналам. Рассмотрим участок с параметрами X₁, R₁, введем параметр ₁ = R₁/ L₁, разделим числитель и знаменатель выражения для i₁(p) на L₁, получим в области изображений:

i₁(p) ={[(U/ L₁)/ (p – jω)] + i₁(0_–)]}/ (p + ₁).

В силу линейности уравнений сложение оригиналов соответствует сложению изображений, умножение оригиналов соответствует умножению изображений [6]. В последнем выражении содержится два слагаемых. По таблице соответствий находим оригинал первого слагаемого:

f₁(t) = [(U/ L₁)/ (₁ + jω)](e ^jωt – e^–1t).

Выделим мнимую часть последнего выражения, запишем последовательно:

(U/ L₁)/ (₁ + jω) = U/ (R₁ + jωL₁) = (U_m / Z₁) e ^{j (α – φ1),}

где , φ₁ = arctg (X₁/R₁);

f₁(t) = (U_m /Z₁) e^j(α–φ1)(e^jωt – e^–1t),

искомый ток по первому слагаемому определим как проекцию вектора f₁(t) на мнимую ось:

i₁₁(t) = Jm {f₁(t)} = (U_m / Z₁)[sin (ωt + α – φ₁) – sin (α – φ₁) e^{– t/Ta1}].

По таблице соответствий находим оригинал второго слагаемого:

i₁₂(t) = i₁(0_–) e^–1t_.

i₁(0_–)  ток в контуре в момент t = 0_–, т. е. ток в контуре до коммутации, этот ток был определен при решении задачи классическим методом. С учетом обозначения T_a1 = X₁/ ωR₁ получаем

i₁(t) = [i_m sin (α – φ)] е^{– t/Ta1}_.

Полный ток участка с параметрами X₁, R₁ состоит из двух слагаемых: i₁₁(t), i₁₂(t):

i₁(t) = i₁₁(t) + i₁₂(t) = (U_m / Z₁)[sin (ωt + α – φ₁)– sin (α – φ₁) e^{– t/Ta1}] +

[i_m sin (α – φ)] e ^{– t/Ta1} =

= i_1m sin (ωt + α – φ₁) + [i_m sin (α – φ) – i_1m sin (α – φ₁)] e^–t/Ta1.

Этот результат совпадает с полученным ранее классическим методом результатом.

Рассмотрим участок с параметрами X₂, R₂, введем параметр ₂ = R₂/L₂, разделим числитель и знаменатель выражения для i₂(p) на L₂, получим в области изображений:

i₂(p) = i₂(0_–)/ (p + ₂).

По таблице соответствий, приведенной, например в [5], находим оригинал:

i₂(t) = i₂(0_–) e^–2t_.

Здесь i₂(0_–)  ток в контуре в момент t = 0_–, т. е. ток в контуре до коммутации, этот ток был определен при решении задачи классическим методом. С учетом обозначения T_a2 = X₂/ ωR₂ получаем

i₂(t) = I_m sin (α – φ)] e^–t/Ta2 .